НПСФ 2026, 9. клас — Задача 1. Топлинни явления

• А. $x = \dfrac{1}{2}\left[(H + l) - \sqrt{H^2 + l^2}\,\right]$

  Второто решение на квадратното уравнение $2x^2 - 2(H+l)x + Hl = 0$ отпада, защото не изпълнява условието $x < \frac{1}{2}l$.

• Б. а) $A = A' - Q$

  Газът върши работа при адиабатния и изотермния процес: $A = A' + A_T$, а при изотермния процес $\Delta U = 0 = -Q - A_T$, откъдето $A_T = -Q$.

• Б. б) $Q_1 = A'$

  От $A = Q_1 - Q_2$ и $Q_2 = Q$ следва $Q_1 = A + Q = A'$.

• Б. в) $\eta = \dfrac{A}{Q_1} = 1 - \dfrac{Q}{A'}$

А. При затискането на пипетата в горната й половина се намира въздух с налягане, равно на атмосферното $P_a$ [0,25 т.]. При изваждането й от живака външното налягане $P_a < P$ – налягането, което оказват стълбчето живак с височина $(1/2)l$ и въздухът в пипетата. [0,5 т.] Живак ще изтича от пипетата докато двете налягания се изравнят, т.е. когато се достигне равенството $P_a = P_1$. [0,5 т.] Като отчетем, че $P_a = \rho g H$ [0,5 т.] и $P_1 = \rho g x + P_2$ [0,5 т.], получаваме

(1) $\rho g H = \rho g x + P_2$. [0,5 т.]

Налягането $P_2$ е крайното налягане на въздуха в пипетата, което той достига след изотермно разширение:

$P_2 (l - x)s = P_a (1/2)ls$, [0,5 т.]

т.е. определяме

$P_2 = \dfrac{\rho g}{2}\,\dfrac{Hl}{(l - x)}$. [0,5 т.]

След като заместим в (1), намираме уравнението, което трябва да удовлетворява $x$:

$2x^2 - 2(H + l)x + Hl = 0$. [0,5 т.]

Неговите решения са

$x_{1,2} = \dfrac{1}{2}\left[(H + l) \pm \sqrt{H^2 + l^2}\,\right]$, [0,5 т.]

като и двете са положителни. От друга страна трябва да бъде изпълнено условието

$x_{1,2} < \dfrac{1}{2}l$, [0,5 т.]

което води до неравенството

$H \pm \sqrt{H^2 + l^2} < 0$. [0,25 т.]

Тогава дължината на стълбчето живак, останало в пипетата, е

$x = \dfrac{1}{2}\left[(H + l) - \sqrt{H^2 + l^2}\,\right]$. [0,5 т.]

Б. a) Газът върши работа при адиабатния и изотермния процес. Тогава имаме

$A = A' + A_T$. [0,5 т.]

Тъй като вътрешната енергия на идеалния газ зависи само от температурата [0,5 т.], при изотермния процес тя не се променя, т.е. в сила е равенството

$\Delta U = U_1 - U_3 = 0 = -Q - A_T$. [0,5 т.]

Следователно намираме $A = A' - Q$. [0,5 т.]

б) Тъй като $A = Q_1 - Q_2$ [0,5 т.], където $Q_1$ е полученото количество топлина за един цикъл от газа, а $Q_2$ – отдаденото от газа количество топлина, т.е. $Q_2 = Q$ [0,5 т.]. Тогава намираме $Q_1 = A'$. [0,5 т.]

в) По определение КПД се дава с израза

$\eta = \dfrac{A}{Q_1} = 1 - \dfrac{Q}{A'}$. [0,5 т.]