Съдържание

НПСФ 2026, 12. клас — Задача 2. Laser Interferometer Gravitational-Wave Observatory (LIGO)

Оригинал на условието (PDF)Съобщи за грешка

Всички материали от НПСФ 2026

МИНИСТЕРСТВО НА ОБРАЗОВАНИЕТО И НАУКАТА · ПРОЛЕТНО НАЦИОНАЛНО СЪСТЕЗАНИЕ ПО ФИЗИКА · 7 март 2026 г., гр. София · Тема за XII клас (шеста състезателна група) · 7 март 2026 г. · 10 т.

Условие

Гравитационните вълни са деформации на самото пространство(време), разпространяващи се със скоростта на светлината $c = 3\cdot10^8\,\mathrm{m/s}$ . Те са предсказани още през 1916 г. от А. Айнщайн, а близо 100 години по-късно бе обявена първата детекция на гравитационна вълна от гравитационновълновата обсерватория LIGO Livingston. В близкото бъдеще се очаква гравитационновълновата астрономия да заеме едно централно място в наблюдателната астрономия и да бъде източник на много нова и съществена информация за това как работи пространствовремето.

Схема на интерферометър на Майкелсон: лазер вляво, полупрозрачно огледало в центъра, огледала O1 и O2 в краищата на двете рамена с дължини L1 и L2, детектор долу. — Фигура 1: LIGO

В тази задача ще се запознаете с основите на това как работят днешните детектори на гравитационни вълни и как принципно се извлича информация от засечените вълни.

Детекторите LIGO на практика представляват интерферометър на Майкелсон с две рамена с дължини $L_0 = 4\,\mathrm{km}$ (фиг. 1, вж. Допълнението в края на тази задача). Използва се лазерен източник на кохерентна монохроматична светлина с дължина на вълната $\lambda = 1064\,\mathrm{nm}$ . Положението на огледалата е такова, че лъчите от двете рамена интерферират деструктивно, т.е. детекторът отчита интензитет 0 в изходно положение (т.е. в отсъствие на гравитационни вълни). Когато гравитационна вълна премине през детектора, дължините на двете рамена се променят като

L_1 = L_0\left(1+\frac{h(t)}{2}\right) \qquad L_2 = L_0\left(1-\frac{h(t)}{2}\right)

където $L_{1,2}$ са дължините на двете рамена, а безразмерната величина $h(t)$ е т.нар. деформация на вълната (относителната деформация на пространството) в момент $t$ . В резултат се получава ненулев светлинен интензитет, попадащ върху детектора. Така показанията на детектора дават възможност за определянето на $h(t)$ . От своя страна, от получената информация за $h(t)$ може да се получи много информация за обектите, които са създали гравитационната вълна.

а) Каква е минималната стойност на разликата $\Delta L_0$ в дължината на двете рамена в изходно положение, такава че двата лъча да интерферират изцяло деструктивно? Отговора изразете чрез $\lambda$ и пресметнете числената му стойност. [1,5 т.]

Когато 2 кохерентни лъча с дължина на вълната $\lambda$ , интензитет $I_0$ и разлика в изминатите оптични пътища $\Delta s$ интерферират се получава лъч с интензитет $I$ , който се задава от

I = 4I_0\cos^2\left(\frac{\pi\Delta s}{\lambda}\right)

б) Определете интензитета $I(t)$ на засечената от детектора светлина при деформация на гравитационната вълна $h(t)$ . Отговора изразете чрез $h(t), I_0, L_0, \lambda$ . [2 т.]

в) Покажете, че при малки деформации на гравитационните вълни, т.е. $h(t) \ll 1$ , е приложимо приближението

Две кръгли тела с маса M, свързани с разстояние d, обикалящи по обща пунктирана кръгова орбита с ъглова скорост ω. — Фигура 3: Модел на системата от две черни дупки

I(t) \approx Ch^2(t)

където $C$ е константа. Изразете $C$ чрез $I_0, L_0, \lambda$ . [0,5 т.]

Графика на I(t)/I0 срещу t от -0.05 до 0.01 s, показваща бързо нарастващи по амплитуда и честота осцилации, характерни за chirp сигнал от сливане на черни дупки. — Фигура 2: Показания на детектора, нормирани към интензитета на един от лъчите

На фиг. 2 е представена графика на интензитета, засечен от детектора при гравитационни вълни, получени при сливане на две черни дупки.

г) Определете максималното удължаване $\delta L_{\max}$ на едно от рамената. Отговора представете с точност до 1 значеща цифра в единици $r_p \approx 0.84\cdot10^{-15}\,\mathrm{m}$ (радиус на протона).

Подсказка: От графиката можете да определите максималната деформация $h_{\max}$ за засечената гравитационна вълна, откъдето може да определите и $\delta L_{\max}$ . [2 т.]

Ще моделираме черните дупки като две кълба с равни маси $M$ и равни радиуси $R = 2GM/c^2$ , които обикалят по кръгови орбити около общия си център на масите (фиг. 3). Приемете, че законите на класическата механика са приложими и че законът на Нютон за гравитацията е валиден. Универсалната гравитационна константа е $G = 6.67\cdot10^{-11}\,\frac{\mathrm{N\cdot m^2}}{\mathrm{kg^2}}$ .

д) Нека центровете на двете черни дупки са на разстояние $d$ един от друг. Намерете честотата $f$ , с която се въртят двете черни дупки. Отговора изразете чрез $c, R, d$ .

Подсказка: Честотата на въртене на черните дупки $f = 1/T$ , където $T$ е времето, за което една от черните дупки извършва една пълна обиколка. [2,5 т.]

е) Моментът на сливане на черните дупки настъпва, когато те се допират, т.е. $d = 2R$ . Честотата на въртене в този момент, определена от сигнала, получен от LIGO, е $f = 75\,\mathrm{Hz}$ . Определете масата $M$ на черните дупки изразена чрез $G, c, f$ и пресметнете числената ѝ стойност в единици слънчеви маси $M_\odot = 2\cdot10^{30}\,\mathrm{kg}$ . [1,5 т.]

Допълнение: Интерферометърът на Майкелсон се състои от лазерен източник (лазер), полупрозрачно огледало ( $M$ ), две огледала ( $O_1, O_2$ ), разположени в краищата на двете рамена, и детектор. Полупрозрачното огледало $M$ разделя лазерния лъч на два еднакво интензивни лъча, които се отразяват от огледалата в краищата на рамената и се връщат обратно към полупрозрачното огледало, с помощта на което се събират при детектора, където се наблюдава двулъчева интерференция на тези два лъча.

Полезна математика: При малки стойности на $x$ , т.е. $x \ll 1$ е изпълнено $\sin(x) \approx x$ .

Решение

а) Понеже всеки от двата лъча изминава дължината на дадено рамо 2 пъти (един път от полупрозрачното огледало до огледалото и втори път обратно), то разликата в изминатите оптични пътища на двата лъча ще бъде $\Delta s_0=2\Delta L_0$ (0.5 т.). Условието за деструктивна интерференция е $\Delta s_0=(k+\frac12)\lambda$ , за цели $k$ . (0.5 т.) Така $\Delta L_0=(\frac k2+\frac14)\lambda$ , откъдето търсената минимална разлика в дължините е (при $k=0$ ) $\boxed{\Delta L_0=\lambda/4=266\,\text{nm}}$ . (0.5 т.)

б) Разликата в оптичните пътища изминати от двата лъча, по аналогия с подусловие а), е $\Delta s=2(L_1-L_2)+\Delta s_0$ , където $\Delta s_0$ е разликата в оптичните пътища в отсъствие на гравитационни вълни ( $h=0$ ), получена в предното подусловие, а $2(L_1-L_2)$ е разликата в оптичните пътища, получена в следствие на гравитационната вълна. (1.0 т.) Т.е.

\Delta s=\Delta s_0+2(L_1-L_2)=\frac{\lambda}{2}+2L_0h \quad (0.5\text{ т.})

Откъдето

I(t)=4I_0\cos^2\left(\frac{\pi}{2}+\frac{2\pi L_0}{\lambda}h(t)\right)\Rightarrow \boxed{I(t)=4I_0\sin^2\left(\frac{2\pi L_0}{\lambda}h(t)\right)} \quad (0.5\text{ т.})

където е използвано тъждеството $\cos(x+\pi/2)=-\sin(x)$ .

в) Понеже $h\ll 1$ , то е приложимо приближението $\sin x\approx x$ и се получава:

I(t)=4I_0\sin^2\left(\frac{2\pi L_0}{\lambda}h(t)\right)\approx 4I_0\left(\frac{2\pi L_0}{\lambda}h\right)^2

Откъдето

\boxed{I(t)\approx Ch^2(t)} \quad \text{и} \quad \boxed{C=I_0\left(\frac{4\pi L_0}{\lambda}\right)^2} \quad (0.5\text{ т.})

г) От графиката виждаме, че при $t=0$ се наблюдава максимален интензитет при детектора от $I_{\max}\approx 3.75\cdot10^{-21}I_0$ . (0.5 т.) От полученото във в) следва

I_{\max}\approx I_0\left(\frac{4\pi L_0h_{\max}}{\lambda}\right)^2\Rightarrow h_{\max}\approx\frac{\lambda}{4\pi L_0}\sqrt{\frac{I_{\max}}{I_0}} \quad (0.5\text{ т.})

Промяната в дължината на едно рамо е $\delta L=hL_0/2$ (0.25 т.) откъдето

\delta L_{\max}=\frac{\lambda}{8\pi}\sqrt{\frac{I_{\max}}{I_0}}\Rightarrow \boxed{\delta L_{\max}[r_p]=\frac{\lambda}{8\pi r_p}\sqrt{\frac{I_{\max}}{I_0}}} \quad (0.25\text{ т.})

За числената стойност се получава

\delta L_{\max}[r_p]=\frac{1.064\cdot10^{-6}}{8\cdot3.14\cdot(0.84\cdot10^{-15})}\sqrt{3.75\cdot10^{-21}}\Rightarrow \boxed{\delta L_{\max}[r_p]\approx3\cdot10^{-3}} \quad (0.5\text{ т.})

Т.е. с помощта на постановката LIGO човечеството измерва удължавания и скъсявания от порядъка на една хилядна от радиуса на протона!

д) Понеже всяка от черните дупки се движи по окръжност с радиус $d/2$ с постоянна ъглова скорост $\omega=2\pi/T=2\pi f$ , то те се движат с постоянно центростремително ускорение $a=\omega^2d/2$ (1.0 т.). Това ускорение се получава в следствие на гравитационното привличане между двете черни дупки със сила $F=GM^2/d^2$ (0.5 т.), откъдето

F=\frac{GM^2}{d^2}=Ma=\frac{\omega^2Md}{2}\Rightarrow \omega=\sqrt{\frac{2GM}{d^3}}=\sqrt{\frac{Rc^2}{d^3}}=\frac{c}{R}\frac{1}{(d/R)^{3/2}}

Откъдето

\boxed{f=\frac{c}{2\pi R}\frac{1}{(d/R)^{3/2}}} \quad (1.0\text{ т.})

е) При $d=2R$ имаме:

f=\frac{c}{2\pi R}\frac{1}{(2R/R)^{3/2}}=\frac{c}{4\sqrt2\pi R}\Rightarrow R=\frac{c}{4\sqrt2\pi f} \quad (0.5\text{ т.})

И понеже $R=\frac{2GM}{c^2}$ , то

\Rightarrow \boxed{M=\frac{c^3}{8\sqrt2\pi Gf}} \quad \text{и} \quad \boxed{M[M_\odot]=\frac{c^3}{8\sqrt2\pi GM_\odot f}} \quad (0.5\text{ т.})

Откъдето, за $f=75\,$ Hz се получава:

M[M_\odot]\approx\frac{(3\cdot10^8)^3}{8\sqrt2\cdot3.14\cdot6.67\cdot10^{-11}\cdot2\cdot10^{30}\cdot75}\Rightarrow \boxed{M[M_\odot]\approx76} \quad (0.5\text{ т.})

Допълнение за любознателните:
Графиката, дадена в условието, е направена така, че сливането настъпва при $t=0$ . Лесно се вижда, че честотата на сигнала при детектора е ок. $f_I\sim280$ Hz. Понеже това е честотата на $I\sim h^2$ , то честотата $f_{GW}$ на гравитационната вълна $h$ е всъщност $f_{GW}\sim280\,\text{Hz}/2=140$ Hz. Това е 2 пъти по-висока честота от дадената в последното подусловие честота от $f=75$ Hz. Причината в този случай (когато двете тела са еднакви) е, че за даден орбитален период една и съща конфигурация на двете черни дупки се повтаря два пъти – на всеки половин период двете черни дупки си разменят местата. Оказва се, че $f_{GW}=2f_{орб.}$ е вярно и по принцип – честотата на вълните е два пъти орбиталната честота.
Предположението, че сливането настъпва при $d=2R$ и че е приложима класическата физика, е доста грубо, но позволява да се получат някои адекватни оценки, както и да се получи представа за това как по принцип се извлича информация от засечената гравитационна вълна. Пресметнатата с помощта на общата теория на относителността маса на една черна дупка е всъщност ок. $30M_\odot$ , т.е. нашият груб класически модел надценява истинската маса около 2 пъти.

Оригинал в Архива: proletni_2026_12problems.pdf · официални решения: proletni_2026_12solutions.pdf