Съдържание

НПСФ 2026, 12. клас — Задача 3. Кондензатор с газ

Оригинал на условието (PDF)Съобщи за грешка

Всички материали от НПСФ 2026

МИНИСТЕРСТВО НА ОБРАЗОВАНИЕТО И НАУКАТА · ПРОЛЕТНО НАЦИОНАЛНО СЪСТЕЗАНИЕ ПО ФИЗИКА · 7 март 2026 г., гр. София · Тема за XII клас (шеста състезателна група) · 7 март 2026 г. · 10 т.

Условие

Плосък кондензатор има пластини с площ $S$ и разстояние между тях $d \ll \sqrt{S}$ . Кондензаторът е зареден до напрежение $U$ .

а) Намерете силата на привличане $F$ между пластините на кондензатора. Отговора изразете чрез $U, S, d$ и диелектричната проницаемост на вакуума $\varepsilon_0$ . [2 т.]

Вертикален цилиндър с напречно сечение с площ $S$ има метална основа и околна повърхност от електрически непроводящ материал. В цилиндъра херметически е затворен едноатомен идеален газ с помощта на метално бутало с маса $M$ , което може да се движи без триене. В началния момент буталото е в равновесие на малко разстояние $L_0 \ll \sqrt{S}$ от дъното. Приемете външното налягане за 0.

Вертикален цилиндър с площ на сечението S, метална основа и метално бутало M на височина L0 от дъното; буталото и дъното са свързани към източник на напрежение U през резистор. — Фигура 1: Кондензатор с газ

В някакъв момент дъното и буталото са свързани към източник на постоянно напрежение $U$ през резистор $R$ . Съпротивлението $R$ е толкова голямо, че кондензаторът се зарежда много бавно и газът има достатъчно време да обменя колкото топлина е нужно с околната среда.

б) Намерете новото разстояние $L$ между буталото и дъното, когато след достатъчно дълго време системата достигне равновесие. Отговора изразете чрез $U, S, L_0, M, \varepsilon_0$ и земното ускорение $g$ . [3,5 т.]

в) Какво е максималното напрежение $U_{\max}$ , за което е възможно равновесие? Отговора изразете чрез $S, L_0, M, \varepsilon_0$ и $g$ . [1 т.]

Нека приложеното напрежение $U$ бъде $U = \sqrt{\dfrac{3MgL_0^2}{8\varepsilon_0 S}}$ . След постигане на равновесие, кондензаторът е разкачен от източника на напрежение. Буталото е леко преместено и освободено, при което системата започва да трепти.

г) Определете периода на трептене $T$ на буталото и го изразете чрез $U, S, L_0, M, \varepsilon_0, g$ . Приемете, че трептенията са достатъчно бързи, че газът на практика да не обменя топлина с околната среда. [3,5 т.]

Забележка: Приемете, че газът е достатъчно разреден, така че $\varepsilon_r \approx 1$ .

Полезна математика: При малки стойности на $x$ , т.е. $x \ll 1$ , е изпълнено $(1+x)^{\alpha} \approx 1+\alpha x$ .

Решение

а) Полето $E$ в кондензатора е хомогенно. Щом разстоянието между двете плочи е $d$ , а напрежението на кондензатора е $U$ , то $E=U/d$ . (0.5 т.) Тогава интензитетът на полето, създадено от една от плочите, е $E_1=E/2=U/(2d)$ . (0.5 т.) От друга страна, капацитетът на този кондензатор е $C=\varepsilon_0S/d$ , където $S$ е площта на една от плочите. Откъдето зарядът върху една от плочите е $Q=CU=\varepsilon_0SU/d$ . (0.5 т.) Така силата, която действа върху една от плочите, е

\boxed{F=QE_1=\frac{\varepsilon_0SU^2}{2d^2}} \quad (0.5\text{ т.})

б) В началото налягането на газа уравновесява силата на тежестта на буталото и следователно началното налягане на газа е $p_0=Mg/S$ . (0.5 т.) След зареждане на кондензатора, на плочата и действат три сили – силата на тежестта $Mg$ , силата на привличане между плочите $F$ и силата, с която газът го натиска $pS$ . Условието за равновесие е $Mg+F=pS$ , т.е. $F/S=p-p_0$ . (0.5 т.) В равновесието, достигнато след достатъчно време, кондензаторът ще се е заредил до напрежение $U$ , а разстоянието между плочите ще бъде $L$ . Тогава

\frac{F}{S}=\frac{\varepsilon_0U^2}{2L^2}=p-p_0 \quad (0.3\text{ т.})

Понеже процесът на зареждане и промяна на разстоянието между плочите е достатъчно бавен, така че газът да обменя колкото топлина е нужно с околната среда, то процесът може да се счита за изотермен, т.е. $p_0V_0=pV$ или $p_0L_0=pL$ . (0.7 т.) Така се получава:

\frac{\varepsilon_0U^2}{2L^2}=p-p_0=p_0\left(\frac{L_0}{L}-1\right)=\frac{Mg}{S}\left(\frac{L_0}{L}-1\right)

\Rightarrow\left(\frac{L}{L_0}\right)^2-\left(\frac{L}{L_0}\right)+\frac{\varepsilon_0SU^2}{2MgL_0^2}=0\Rightarrow L=L_0\frac{1\pm\sqrt{1-\frac{2\varepsilon_0SU^2}{MgL_0^2}}}{2} \quad (1\text{ т.})

Ако $U=0$ , то би трябвало $L=L_0$ , понеже няма какво да предизвика промяна. Затова избираме знакът $+$ пред корена. Така

\boxed{L=L_0\frac{1+\sqrt{1-\frac{2\varepsilon_0SU^2}{MgL_0^2}}}{2}} \quad (0.5\text{ т.})

в) За да съществува равновесно положение, трябва квадратното уравнение от предното подусловие да има решение, т.е.

\frac{2\varepsilon_0SU^2}{MgL_0^2}\leq1\Rightarrow U^2\leq\frac{MgL_0^2}{2S\varepsilon_0}\Rightarrow \boxed{U_{\max}=\sqrt{\frac{MgL_0^2}{2S\varepsilon_0}}} \quad (1\text{ т.})

Откъдето пък

L=L_0\frac{1+\sqrt{1-(U/U_{\max})^2}}{2}

Допълнение за любознателните:
При напрежения над $U_{\max}$ силата на привличане ще надделява над налягането на газа и буталото би трябвало да залепне за долната плоча. Ясно е, че това няма как да стане, понеже е невъзможно газ да се компресира до обем 0.
При такива напрежения, буталото ще се движи надолу, докато нещо не се промени от предположенията направени в условието. Например може газът да се втечни. Възможно е и да се стигнат до такива интензитети на електричното поле, при които да се получи пробив на газа и т.н.

г) При даденото напрежение $U=U_{\max}\sqrt{3/4}$ , за $L$ и налягането в равновесие $p'$ се получава

L=L_0\frac{1+\sqrt{1-\frac34}}{2}=\frac{3L_0}{4} \quad \text{и} \quad p'=p_0\frac{L_0}{L}=\frac43p_0 \quad (0.5\text{ т.})

Понеже кондензаторът е разкачен от източника, то зарядът върху плочите не се променя по време на трептенията. Оттук следва, че силата на привличане между плочите $f=p'S-Mg$ също няма да се променя по време на трептенията. (0.7 т.)
Нека буталото се отклони на разстояние $x$ от равновесното си положение, като новото разстояние между буталото и основата на цилиндъра е $L+x$ .
Тъй като трептенията са бързи и газът не обменя топлина, то процесът е адиабатен, т.е. $pV^\gamma=\text{const}$ , където $\gamma=5/3$ (газът е едноатомен) (0.7 т.). Тъй като $V=LS$ имаме

p'L^\gamma=p(L+x)^\gamma\Rightarrow p=p'\left(1+\frac xL\right)^{-\gamma}\approx p'-p'\gamma\frac xL \quad (0.5\text{ т.})

Оттук силата, която действа върху буталото при отклонение $x$ е

F(x)=pS-Mg-f=(p-p')S=-\frac{\gamma p'S}{L}x=-\frac{16\gamma p_0S}{9L_0}x=-\frac{16\gamma Mg}{9L_0}x=-kx \quad (0.5\text{ т.})

Така връщащата сила е еквивалентна на силата на разтегната пружина с твърдост $k=16\gamma Mg/(9L_0)$ . Следователно

T=2\pi\sqrt{\frac{M}{k}}=2\pi\sqrt{\frac{9L_0}{16\gamma g}}\Rightarrow T=\frac{3\pi}{2}\sqrt{\frac{L_0}{\gamma g}}\Rightarrow \boxed{T=\frac{3\pi}{2}\sqrt{\frac{3L_0}{5g}}} \quad (0.6\text{ т.})

Оригинал в Архива: proletni_2026_12problems.pdf · официални решения: proletni_2026_12solutions.pdf