Съдържание

НПСФ 2026, 8. клас — Задача 2. Разминаване и изпреварване

Оригинал на условието (PDF)Съобщи за грешка

Всички материали от НПСФ 2026

МИНИСТЕРСТВО НА ОБРАЗОВАНИЕТО И НАУКАТА · ПРОЛЕТНО НАЦИОНАЛНО СЪСТЕЗАНИЕ ПО ФИЗИКА · 06 – 08 март 2026 г., София · Тема за II състезателна група (8. клас) · 6 март 2026 г.

Условие

По два успоредни съседни железопътни коловоза се движат пътнически влак ("Експрес") и товарен влак. Експресът има дължина $L_e = 120\ \mathrm{m}$ и се движи с постоянна скорост $v_{e0} = 90\ \mathrm{km/h}$ . Товарният влак има дължина $L_t = 280\ \mathrm{m}$ . В момента $t_0 = 0\ \mathrm{s}$ , когато двата влака се намират в позиция за начало на разминаване или изпреварване, и двата влака са в положение „нос до нос “, тоест най-предните части на двата локомотива лежат на една права, перпендикулярна на коловоза. Товарният влак има скорост $v_{t0} = 36\ \mathrm{km/h}$ и започва да ускорява с постоянно положително ускорение $a_{t0} = 0{,}2\ \mathrm{m/s}^2$ . Разгледайте два независими случая за движението на влаковете:

Случай А (Еднопосочно): влаковете се движат еднопосочно и експресът изпреварва товарния влак.

Случай Б (Разнопосочно): влаковете се движат един срещу друг и се разминават.

а) Превърнете скоростите в m/s. Запишете как относителната скорост (скоростта един спрямо друг) $v_o$ между двата влака зависи от времето за Случай А и за Случай Б. [1,5 т.]

б) В Случай А, намерете колко време $t_A$ е необходимо на Експреса, за да извърши пълно изпреварване на товарния влак. (Забележка: Пълно изпреварване е когато последният вагон на дадения влак подмине локомотива на другия влак). [2 т.]

в) В Случай Б, намерете колко време $t_B$ ще отнеме пълното разминаване на двата влака (от срещата на локомотивите до раздалечаването на последните вагони). [2 т.]

г) Пътник, седящ до прозореца и намиращ се точно в средата на Експреса, решава да засече с хронометър колко време вижда товарния влак през стъклото си. Пресметнете това време $\tau$ и за двата случая А и Б. [4,5 т.]

Отговори

Решение

а) $v_{e0}=90/3{,}6=25\ \mathrm{m/s}$ , $v_{t0}=36/3{,}6=10\ \mathrm{m/s}$ . (0.5 т.)

Товарният влак: $v_t(t)=v_{t0}+at=10+0.2t$ .

Случай А (еднопосочно): експресът е по-бърз, относителната скорост на експреса спрямо товарния: $v_{rel,A}(t)=v_e-v_t(t)=25-(10+0.2t)=15-0.2t$ . (0.5 т.)

Случай Б (разнопосочно): скорости се събират:

$v_{rel,B}(t)=v_1+v_t(t)=25+(10+0.2t)=35+0.2t$ . (0.5 т.)

б) „Пълно изпреварване“ е последният вагон на експреса да мине локомотива на товарния $\Rightarrow s=L_e=120\ \mathrm{m}$ (0.5 т.)

Записваме уравнението за изминат път за случай А.

$s=v_{rel,0}t+\frac{a_{rel}t^2}{2}$ (0.5 т.)

$120=15t+\frac{-0{,}2t^2}{2}=15t-0{,}1t^2$ . (0.5 т.)

$0{,}1t^2-15t+120=0 \Rightarrow t^2-150t+1200=0$ .

$t_1=\frac{150-133}{2}=8{,}5\ \mathrm{s}$ (първият момент е краят на изпреварването)

$t_2=\frac{150+133}{2}=141{,}5\ \mathrm{s}$ (моментът, в който товарният би настигнал експреса).

Отговор: $t_A=8{,}5\ \mathrm{s}$ . (0.5 т.)

в) В случай Б: $s=L_e+L_t=400\ \mathrm{m}$ . (0.5 т.)

Записваме уравнението за изминат път за случай Б.

$400=35t+\frac{0.2t^2}{2}=35t+0{,}1t^2$ (0.5 т.)

$0{,}1t^2+35t-400=0 \Rightarrow t^2+350t-4000=0$ . (0.5 т.)

$D=350^2+4\cdot4000=122500+16000=138500$ , $\sqrt{138500}\approx372.2$

$t=\frac{-350+372.2}{2}\cong11.1\ \mathrm{s}$ .

Отговор: $t_B\cong11.1\ \mathrm{s}$ . (0.5 т.)

г) Пътникът е в средата на Експреса (на 60 m от носа).

За Случай А (Еднопосочно):

В t = 0 пътникът е на позиция 60 m (спрямо носовете). Той спира да го вижда, когато подмине носа на товарния влак (тъй като Експресът е по-бърз). Следователно: $s=60\mathrm{m}$ . (0.5 т.)

Записваме уравнението за изминат път:

$60=15\tau-0{,}1\tau^2$ (0.5 т.) $\Rightarrow 0{,}1\tau^2-15\tau+60=0$ . $\tau^2-150\tau+600=0$ .

$D=22500-2400=20100$ . $\sqrt D\approx141{,}8$ .

$\tau=\frac{150-141{,}8}{2}=4{,}1\ \mathrm{s}$ . (0.5 т.)

Случай Б

Тук трябва да съобразим, че товарният влак се ускорява и следователно си променя скоростта. Задачата може да я решим като извадим времето на виждане на задната част от влака от пътника спрямо t = 0 и времето на виждане на предната част на влака от пътника спрямо t = 0. (0.5 т.)

Момент на среща с носа ( $S_1=60\ \mathrm{m}$ ):

$0{,}1t^2+35t-60=0$ (0.5 т.)

$t\cong1{,}7\ \mathrm{s}$ (0.5 т.)

Момент на разминаване с опашката ( $S_2=60+280=340\ \mathrm{m}$ ):

$0{,}1t^2+35t-340=0$ (0.5 т.)

$t_2\cong9{,}5\ \mathrm{s}$ . (0.5 т.)

Времетраене на виждането: $\tau=t_2-t_1=9{,}5-1{,}7=7{,}8\ \mathrm{s}$ . (0.5 т.)

Теми и трудност

Оценена трудност: 4/5.

Механика · Относително движение · Кинематика

Предпоставки: Прогимназиална подготовка

Оригинал в Архива: proletni_2026_8problems.pdf · официални решения: proletni_2026_8solutions.pdf