НПСФ 2026, Специална тема — Задача 1. Международна космическа станция (ISS)

• а) $n = 3,\quad \alpha = -\frac{mB}{2\gamma M}$

• б) $F_{\text{т}} = \pi\rho {v_0}^2 {r_0}^2 = \rho S {v_0}^2$

• в) $\Delta v_1 = \sqrt{\frac{\gamma M}{r_1}}\frac{h}{4r_1},\quad \Delta v_2 = \sqrt{\frac{\gamma M}{r_2}}\frac{h}{4r_2}$

• г) 0.001 m/s

  В официалното решение: ≈ 2.7 км/месец ≈ 1,0.10⁻³ m/s.

• д) 1400 m²

  $S = -\frac{m}{2\rho R_{\text{З}}\sqrt{gr}}\frac{dr}{dt} \approx 1400\ \mathrm{m^2}$

• е) 0.85 m/s

  Δv₁ ≈ Δv₂ ≈ 0,85 m/s.

• ж) 128 s

а) При движение по кръгова орбита пълната механична енергия на спътника е $E = E_{kin} + E_{pot} = \frac{mv^2}{2} - \frac{\gamma M m}{r}$. [0,2 т.] Тъй като при движение по окръжност $\frac{mv^2}{r} = \frac{\gamma M m}{r^2}$, [0,2 т.] (1) то $E = \frac{mv^2}{2} - \frac{\gamma M m}{r} = -\frac{\gamma M m}{2r}$. [0,2 т.] Производната ѝ по времето е $\frac{dE}{dt} = \frac{\gamma M m}{2r^2}\frac{dr}{dt} = \frac{\gamma M m B}{2r^2}$. [0,2 т.] (2) Тъй като $\frac{dE}{dt} = P = -F_{\text{т}}.v$ [0,2 т.] и използвайки, че $|F_{\text{т}}| = \alpha v^{n}$, то $\frac{dE}{dt} = \frac{\gamma M m B}{2r^2} = -\alpha v^{n+1}$. [0,2 т.] (3) Тъй като от (1) $r = \frac{\gamma M}{v^2}$, замествайки в (3), за получава $\frac{\gamma M m B}{2\left(\frac{\gamma M}{v^2}\right)^2} = \frac{v^4 m B}{2\gamma M} = -\alpha v^{n+1}$. [0,2 т.] За да е изпълнено за всяко $v$ (и съответно $r$) следва, че $n = 3$ [0,3 т.] и $\alpha = -\frac{mB}{2\gamma M}$. [0,3 т.]

б) Тъй като $v_0 \gg v_{\text{м}}$, то в система, свързана с топката, всички молекули се движат упоредно със скорост $v_0$ спрямо топката. [0,1 т.] Нека една молекула удари топката в точка, намираща се на разстояние $r$ от диаметъра, успореден на скоростта на молекулата. Скоростта на молекулата ще сключва ъгъл $\theta$ с нормалата в тази точка, като $r = r_0 \sin\theta$. [0,1 т.] (4) Тъй като ударът е идеално еластичен, молекулата ще отскочи под ъгъл $2\theta$ спрямо същия диаметър. [0,1 т.] Тази молекула ще предаде импулс на топката с проекция по същия диаметър $\Delta p = m_{\text{м}}v_0 - m_{\text{м}}v_0\cos 2\theta = m_{\text{м}}v_0 2(\sin\theta)^2$. [0,2 т.] Нека отчетем предадения на топката импулс $\Delta P$ с проекция по този диаметър (предаденият импулс, перпендикулярен на диаметъра, е нула от съображения за симетрия) от молекулите, ударили се в точки, намиращи се в кръгова ивица между ъгли $\theta$ и $\theta + \Delta\theta$ спрямо диаметъра за интервал от време $\Delta t$: $\Delta P = N.\Delta p = n\Delta V.\Delta p = \frac{\rho\Delta V.\Delta p}{m_{\text{м}}} = \frac{\rho\Delta S\Delta l.\Delta p}{m_{\text{м}}} = \frac{\rho\Delta S v_0\Delta t.\Delta p}{m_{\text{м}}} = \frac{\rho 2\pi r\Delta r v_0\Delta t.\Delta p}{m_{\text{м}}} = \frac{\rho 2\pi r\Delta r v_0\Delta t.m_{\text{м}}v_0 2(\sin\theta)^2}{m_{\text{м}}} = \rho 2\pi r\Delta r v_0\Delta t.v_0 2(\sin\theta)^2 = \rho 2\pi r_0\sin\theta\,\Delta r v_0\Delta t.v_0 2(\sin\theta)^2$. [0,5 т.] (5) От (3) следва, че $\Delta r = r_0\cos\theta\,\Delta\theta$. Замествайки в (5), $\Delta P = \rho 2\pi r_0\sin\theta\, r_0\cos\theta\,\Delta\theta v_0\Delta t.v_0 2(\sin\theta)^2 = 4\pi\rho {v_0}^2 {r_0}^2\Delta t(\sin\theta)^3\cos\theta\Delta\theta$. [0,3 т.] Интегрирайки по $\theta$ от 0 до $\frac{\pi}{2}$, получаваме че сумарният импулс ще бъде $P = 4\pi\rho {v_0}^2{r_0}^2\Delta t\int_0^{\frac{\pi}{2}}(\sin\theta)^3\cos\theta d\theta$. [0,2 т.] Интегралът $\int_0^{\frac{\pi}{2}}(\sin\theta)^3\cos\theta d\theta = \int_0^{\frac{\pi}{2}}(\sin\theta)^3 d(\sin\theta) = \left.\frac{(\sin\theta)^4}{4}\right|_0^{\frac{\pi}{2}} = \frac{1}{4}$. [0,1 т.] Следователно $F_{\text{т}} = \frac{P}{\Delta t} = \pi\rho {v_0}^2{r_0}^2 = \rho S {v_0}^2$ (6) ($S = \pi {r_0}^2$ е напречното сечение на топката). [0,4 т.]

в) От (1) следва, че $v(r_1) = \sqrt{\frac{\gamma M}{r_1}}$ (7) и $v(r_2) = \sqrt{\frac{\gamma M}{r_2}}$. (8) При движението по елиптичната орбита за точките на апогея и перигея от ЗЗМИ следва, че $v_1 r_1 = v_2 r_2$, [0,2 т.] откъдето $v_2 = v_1\frac{r_1}{r_2}$. (9) От ЗЗМЕ следва, че $\frac{m{v_1}^2}{2} - \frac{\gamma M m}{r_1} = \frac{m{v_2}^2}{2} - \frac{\gamma M m}{r_2}$. [0,2 т.] След преобразования се достига до ${v_1}^2 - {v_2}^2 = 2\gamma M\left(\frac{1}{r_1} - \frac{1}{r_2}\right)$. [0,2 т.] (10) Използвайки (9), (10) се преобразува до ${v_1}^2 - {v_1}^2\left(\frac{r_1}{r_2}\right)^2 = 2\gamma M\left(\frac{1}{r_1} - \frac{1}{r_2}\right)$ и след рационализиране $v_1 = \sqrt{\frac{2\gamma M r_2}{r_1(r_1+r_2)}}$. [0,2 т.] (11) Използвайки (9) и (11), $v_2 = \sqrt{\frac{2\gamma M r_1}{r_2(r_1+r_2)}}$. (12) Тъй като $r_2 - r_1 = h \ll r_1, r_2$, $v_1 = \sqrt{\frac{2\gamma M r_2}{r_1(r_1+r_2)}} = \sqrt{\frac{2\gamma M(r_1+h)}{r_1(r_1+r_1+h)}} = \sqrt{\frac{\gamma M\left(1+\frac{h}{r_1}\right)}{r_1\left(1+\frac{h}{2r_1}\right)}} \approx \sqrt{\frac{\gamma M}{r_1}}\left(1+\frac{h}{2r_1}\right)\left(1-\frac{h}{4r_1}\right) \approx v(r_1)\left(1+\frac{h}{4r_1}\right)$. [0,3 т.] Следователно $\Delta v_1 = v_1 - v(r_1) = v(r_1)\frac{h}{4r_1} = \sqrt{\frac{\gamma M}{r_1}}\frac{h}{4r_1}$. [0,3 т.] (13) Аналогично $v_2 = \sqrt{\frac{2\gamma M r_1}{r_2(r_1+r_2)}} = \sqrt{\frac{2\gamma M(r_2-h)}{r_2(r_2-h+r_2)}} = \sqrt{\frac{\gamma M\left(1-\frac{h}{r_2}\right)}{r_2\left(1-\frac{h}{2r_2}\right)}} \approx \sqrt{\frac{\gamma M}{r_2}}\left(1-\frac{h}{2r_2}\right)\left(1+\frac{h}{4r_2}\right) \approx v(r_2)\left(1-\frac{h}{4r_2}\right)$. [0,3 т.] Следователно $\Delta v_2 = v(r_1) - v_1 = v(r_2)\frac{h}{4r_2} = \sqrt{\frac{\gamma M}{r_2}}\frac{h}{4r_2}$. [0,3 т.] (15)

г) Апроксимирайки $H(t)$ между две включвания на двигателите с прави линии, определяме наклона на тези прави (виж фигурата). За $\Delta H = 7\ \mathrm{km}$, [0,2 т.] получаваме интервали време (в месеци) съответно (отляво надясно) 1.7, 2.2, 2.1, 2.3, 3.6, 3.1, 2.8, 2.7 месеца. [0,3 т.] Средното е 2.56 месеца. [0,1 т.] Съответно $\frac{dH}{dt} \approx 2.7$ км/месец. $\approx 1{,}0.10^{-3}$ m/s. [0,4 т.]

д) Скоростта на промяната на механичната енергия е равна на мощността на силата на триене, $\frac{dE}{dt} = P_{\text{т}} = F_{\text{т}}v$. Използвайки (2) и (6), $\frac{\gamma M m}{2r^2}\frac{dr}{dt} = -\rho S v^2 v = -\rho S v^3$. [0,2 т.] Така $S = -\frac{\gamma M m}{2r^2\rho v^3}\frac{dr}{dt}$. [0,2 т.] След заместване на скоростта с (7), $S = -\frac{\gamma M m}{2r^2\rho\left(\frac{\gamma M}{r}\right)^{\frac{3}{2}}}\frac{dr}{dt} = -\frac{m}{2\rho(r\gamma M)^{\frac{1}{2}}}\frac{dr}{dt}$. [0,4 т.] (16) От силата на тежестта следва $mg = \frac{\gamma M m}{{R_{\text{З}}}^2}$, откъдето $\gamma M = g{R_{\text{З}}}^2$. [0,2 т.] Замествайки в (16), $S = -\frac{m}{2\rho R_{\text{З}}\sqrt{gr}}\frac{dr}{dt}$. [0,5 т.] След заместване с дадените и получените стойности, $S = \frac{450.10^3}{2.3.10^{-12}.6{,}4.10^6\sqrt{9{,}81.6{,}8.10^6}}1{,}0.10^{-3} \approx 1400\ \mathrm{m^2}$. [0,5 т.]

е) Тъй като $r_1 \approx r_2$, то и $\Delta v_1 \approx \Delta v_2 = \sqrt{\frac{\gamma M}{r_1}}\frac{h}{4r_1} = \sqrt{\frac{g}{r_1}}\frac{R_{\text{З}}h}{4r_1}$. Замествайки, $\Delta v_1 \approx \Delta v_2 \approx \sqrt{\frac{9{,}81}{6{,}8.10^6}}\frac{6{,}4.10^6.3.10^3}{4.6{,}8.10^6} \approx 0{,}85\ \mathrm{m/s}$. [0,5 т.]

ж) Тъй като $\Delta p = m\Delta v = F_{\text{р}}t_{\text{д}}$, то $t_{\text{д}} = \frac{m\Delta v}{F_{\text{р}}} \approx 128\ \mathrm{s}$. [0,5 т.]