RMPh 2011, Теория — Задача 1. Разтягащ се кондезатор

Romanian Master of Mathematics and Sciences 2011 — Physics Section

Условие

Плосък кондензатор, началното разстояние между пластините, всяка от които има площ S, е d. Всяка пластина е с маса m и може да се движи без триене по неподвижен, дълъг, проводящ прът. През центъра на всяка от тях минава по един прът. Пръчките минават през центъра на плъстините. Те се срещат по средата между двете пластините като са изолирани една от друга чрез тънко гумено тяло с пренебрежимо малка дебелина.

Пръчките са много тънки и влиянието им върху електричните им и магнитените полета (вън и в кондензатора) могат да се пренебрегнат. През цялото време всяка пластина е в идеален електричен контакт с пръчката, минаваща през него. Отначало всяка от пръчките е в покой като може да се зарежда с положителен заряд Q. Кондензаторът е във вакуум (ε0 е електричната константа, а c скоростта на светлината във вакуум, са известни). Източник на постоянно напрежение U се свързва с краищата на пръчките и пластините на кондензатора се освобождават. (могат да започнат да се движат)

a. изразете големината на Q чрез S, d, ε0 и U , в момента, в който пръчките са прекратили движението си. Дали това е устойчиво и неустойчиво равновесие? Моля обяснете.
Предположете, че в момента t = 0, когато зарядът е бил Q, пресметнат от по-горното изискване, пластините съвсем леко са ударени, така че те излизат от равновесие и започват да се отдалечават една от друга. Изразете разстоянието между тях като функция на времето (x(t)=?).

b. Получете диференциалното уравнение, описващо x(t).

c. Преобразувайте уравнението, така че то да описва зависимостта v(x) (скоростта, с която се разделечават пръчките като функция на разстоянието между тях). Представете решение на уравнението като използвате константите m, S, d, ε0, U, а също така и разстоянието x.

d. определете по какъв начин се променя интензитета на електричното поле E на кондензатора с течение на времето.
Разгледайте множеството от точки в кондензатора (между пластините), които се намират на разстояние r от осите, минаващи през центровете на пластините, където r е много по-малко от d.

e. изразете големината на магнитното поле B в тези точки чрез m, S, d, ε0, c, U, x, и r. Как са ориентирани магнитните индукционни линии?
Малък тънък диалектричен пръстен, с лице A, инерчен момент I, зареден с положителен заряд q се поставя между пластините на кондензатора на разстояние r от оста, минаваща през центровете на пластините. Пръстенът лежи в равнина, принадлежаща на тази ос. През цялото време пренебрегваме индуктивността на обектите, включени в този проблем.
В началния момент t = 0 пръстенът може да се върти свободно около собствена ос.

f. Определете максималната ъглова скорост на пръстена и разстоянието между плочите при тази скорост.

g. В момента, когато пръстенът се върти с максимална ъглова скорост се отстранява захранването. Определете ъгловата скорост на пръстена веднага след това.

Решение

---

Оригинал в Архива: th_bg.pdf