RMPh 2011, Теория — Задача 2. Фрактална физика

Romanian Master of Mathematics and Sciences 2011 — Physics Section

Условие

1. Всички сме виждали кубът на Рубик, състоящ се от 27 малки кубчета.
Сега махнете вътрешното кубче и шестте кубчета, лежащи в центъра на всяка от стените. Сега вие разполагате с 20 кубчета и можете да гледате през куба.
Сега ще приложим тази процедура за всяко от двадесетте кубчета и ще я повторим до безкрайност. Накрая ще получите обект, който се нарича фрактален, наречен „Menger sponge” (или “Sierpinski cube”).

Изчислете инерчния момент на такъв обект, с маса m и дължина на страната l, и ос, минаваща през центъра на две срещуположни страни.

2. Разгледайте дифракционна решетка, която прилича на фигурата “Cantor set” (показана на чертежа). Такава решетка се получава чрез отстраняване на средната от всеки три части, с дължина l. След това блокираме централната част на двата останали отвора и т.н. Крайният резултат е подобен на този, който се вижда на чертежа.
Нека N е максималния брой стъпки, за които е възможно физически да се приложи тази процедура и I0 е интензитета на моногхроматична светлина, която пада нормално върху решетката. Разгледайте случая на дифракция на светлината от тази решетка, когато ъгълът е α, като приемете, че всеки елемент от решетката може да се разглежда като точков източник на светлина.

a. Каква е разликата в оптичните пътища от двата най-горни отвора на тази дифракционна решетка чрез l, N и α. Изчислете интензитета на дифрактиралата светлина на тези два отвора, като функция на α, игнорирайки всички останали отвори.

b. Нека означим $2\pi/\sin\alpha/3^N\lambda$ с x. Начертайте графиката I(x).

c. По същия начин представете I(α) за четирите най-горни отвора и начертайте графиката I(x).
[Помощ: Използвайте, че уравнението $\tan(x) + 3\tan(3x) = 0$ има решение $x = n\pi/3,\ n\in\mathbb{N}$.]

d. изразете I(α) за цялата дифракционна решетка чрез I0, l, N, и α, и представете общата дифракционна картина.

Решение

---

Оригинал в Архива: th_bg.pdf