RMPh 2011, Теория — Задача 3. Въведение в квантовата механика

Romanian Master of Mathematics and Sciences 2011 — Physics Section

Условие

В квантовата механика се предполага, че кинетичната енергия на една частица е дискретна, много по-малка част от останалата енергия, което може да бъде изразена чрез формулата:

1. Уравнението на незатихваща (с постоянна амплитуда) плоска вълна, която се разпространява по направлението на оста x е:

Където аргументът на синусовата функция ще наричаме фаза на вълната, където $k = 2\pi/\lambda$.
Фазовата скорост c се дефинира като скоростта, с която се мени фазата на вълната в пространството, т.е. по друг начин казано скоростта на разпространение на вълната.

a. Изразете фазовата скорост чрез ω и k.

Сега приемаме, че две незатихваща плоски вълни се разпространяват по оста x с приблизително еднакви ω и k:

b. Разглеждаме интерференцията на две такива вълни в определен момент t. Определете координатите на точките от оста x, в които вълните имат максимални амплитуди и параметрите на резултантната вълна в този фиксиран момент.
Дефинирайте груповата скорост $v_g$, с която тези точки се движат по оста x.

c. Определете груповата скорост на вълните чрез $\Delta\omega = \omega_2-\omega_1$ и $\Delta k = k_2-k_1$.

Сега вместо две вълни имаме множество от вълни, имащи кръгови честоти ω, запълващи много малък интервал Δω около ω0 и параметри k (виж по-горе) в също такъв малък интервал Δk около k0. В този случай излиза, че ω се мени линейна функция на k, Δω/Δk представлява наклон на графиката на тази функция, спрямо оста x. Също така излиза, че има постоянна плътност на амплитудата a/Δk.

d. Напишете израз за резултантната вълна чрез a, ω0, Δω, k0, Δk, x, и t. За фиксиран момент t, дайте приблизителна оценка на отношението на двете най-големи стойности на амплитудите. Също така изразете $v_g$.

[Помощ: Уравнението $\tan\alpha = \alpha$ освен очевидното решение α = 0, има и приблизителни решения $\alpha = \pm(2n+1)\pi/2,\ n = 1, 2,\dots$]

2. Някой може би знае, че енергията и момента на импулса на фотона могат да бъдат изразени чрез честотата и/или дължината на вълната на съответстващото електромагнитно лъчение:

Louis DeBroglie изказва хипотезата, че частиците могат да се разглеждат като вълни, описвани с тази функция:

Нещо повече, нека предположим, че всяка частица с фиксирани енергии и импулси $E/\hbar$ и $p/\hbar$ е еквивалентна на множество от вълни.

e. Докажете, че в този случай груповата скорост $v_g$ е скоростта на частицата.
Чрез този резултат ни довежда до идеята, че централния максимум на множеството вълни би могъл да бъде интерпретиран като фиксирам x координатата на частицата в момента t.

f. Изчислете разстоянието Δx между централния максимум и най-близкия минумим и покажете, че е в сила $\Delta x\Delta p = h$.
Това означава, че ако искаш по-точно и по-точно да определиш местоположението на централния максимум на множеството вълни, то ти трябва да вземаш по-широк и по-широк интервал на момента на импулса. Ако вместо множество от вълни разгледаме една вълна, то ще загубим следата на частицата върху оста x.
На пръв поглед разстоянието, изчислено по-горе може да се интерпретира като показателно относно относителния размер на частицата. Но тъй като на теория ширината на множеството от вълни е произволна, то също така има друг с по-малка стойност максимум. Още по-интересно е да видим резултантната вълна като мярка за вероятността за намиране на частицата по оста x за интервал t.

3. Разглеждайки функцията на две променливи $\xi(x,t)$ може да се дефинира комплексната функция на същите променливи чрез комплексната (имагинерната) част на първата функция:

Оттук следва:

Можем да опишем чрез тази функция вълната.

g. Напишете също така два израза на уравнението на незатихваща едномерна вълна, разпространяваща се в противоположна посока на оста x. Намерете израз на синусова и косинусова функция в експененциална форма.

h. Напишете по същия начин уравнението на стояща вълна получена чрез интерференция на две такива вълни с еднакви амплитуди, разпространяващи се по оста x в противоположни посоки.

Плътност на вероятност ще наричаме вероятността да се намери частица в точка x и момент t като $|\Psi(x,t)|^2$. Това означава, че:

Където звездата (*) означава комплексно спрегнато.
Ние искаме да изучаваме квантовото състоянние на свободно движещи се частици (например електрон с енергия в покой $E_0 = 0.5\ \mathrm{MeV}$) в някакъв фиксиран отрязък l. Следователно неговата потензциална енергия се мени от 0 за всяко $x \in [-l/2, +l/2]$ и безкрайност за друго x. Представяме си, че тази област е заградена с безкрайно високи стени, между които гравитацията е нула, в които ударите на електрона със стените са идеално еластични.

i. Каква е минималната възможна стойност на кинетичната енергия на такава частица в класическата механика? Каква е плътността на вероятността в този случай?

Чрез квантовия подход, приложен за тази ситуация частицата може да се разглежда като две различни стоящи вълни (подобно на осцилатор) Ψ описва възела $x = \pm l/2$, наречен вълнова функция, всяко състояние на този осцилатор съответства на едно квантово състояние на частицата.

j. Определете стойностите $E_n$ на кинетичната енергия на частицата, съответстваща на n-тото състояние на осцилатора (n се нарича квантово число). Оценете $E_1$ за електрон, ако l = 1 Å (ангстрьом е 10exp(-10) m)

k. Напишете вълновата функция $\Psi_1$, съответстваща при основно състояние и вълновата функция $\Psi_2$, съответстваща на първо следващо състояние, и изразете амплитудите $c_1$ и $c_2$ чрез l. Оценете вероятностите за намиране на частица в центъра на средната третина, във всяко от двете състояния.
Нека също както струната на музикален инструмент не се настройва само за едно трептене (осцилация), а по-скоро е обект на разместване на позицията на възлите на стоящи вълни, и реалното състояние на частицата има максимуми, описвани чрез всички вълнови функции чрез коефициенти $\alpha_n$ представящи теглата на всяко „чисто“ състояние:

l. Разглеждаме $\alpha_n = 0$ за всяко n > 2, и намираме връзката между $\alpha_1$ и $\alpha_2$.

В действителност горният резултат се запазва за всяко n, и това показва, че $\Psi_n$ не влияе на другите. По-скоро те се разглеждат като независими единични вектори в безкрайномерното пространство, $\Psi(x,t)$, където базовия вектор е с координати $\{\alpha_n\mid n = 1,2,\dots\}$.
Накрая нека се върнем към предположението, че има само чисти (цели) състояния и разглеждаме случая на частица, движеща се свободно вътре в кутия с размерио $l_x \times l_y \times l_z$. Отново потенциалната енергия е нула вътре в кутията и е безкрайност навън, а ударите със станите са еластични, но този път вълновата функция зависи от четири координати: x, y, z, и t. Това означава, че този път се нуждаем от три квантови числа, по едно за всяка ос: $n_x$, $n_y$ и $n_z$.

m. Намерете минималната кинетична енергия на такава частица, използвайки методите на класическата механика. Каква е плътността на вероятността в този случай?

n. Напишете израз за кинетичната енергия чрез $E_0$, c, $l_x$, $l_y$, $l_z$, $n_x$, $n_y$, $n_z$ и $\hbar$.

Може да се установи, че частицата има една и съща енергия при различни стойности на квантовите числа. Този факт се нарича изроденост (“degeneracy”).
Опростените условия, при които се появява изроденост са, че поне две от страните на кутията трябва да са равни.

o. За $l_x = l_y = l_z = 1$ Å, изчислете кинетичната енергия, съответстваща на основното състояние на електрона. Изродено ли е това състояние?

p. Дайте примери за изроденост в случаи, при които стените на кутията не са равни.

q. Напишете уравнение за $\Psi_{n_x,n_y,n_z}(x,y,z,t)$ и намерете стойността на $c_{n_x,n_y,n_z}$, представено чрез $l_x$, $l_y$ и $l_z$.

Решение

---

Оригинал в Архива: th_bg.pdf