RMPh 2012, Теория — Задача 1. Магнетостатика

Romanian Master of Physics 2012

Условие

Магнетодвижещата сила по крива се дефинира като интеграл по контур на проекцията на магнитната индукция $B$ върху кривата,

Законът на Ампер гласи, че магнетодвижещата сила по затворена крива (намотка) е пропорционална на тока, пресичащ КОЯ ДА Е повърхнина чиято граница е тази крива. Коефициентът на пропорционалност се нарича магнитна проницаемост на вакуума ($\mu_0$).

Положителната посока на тока се определя от начина на обхождане на контура по правилото на дясната ръка.

a. По безкрайно дълъг прав проводник тече постоянен ток $I$. Намерете големината и посоката на магнитната индукция $B$, създадена от тока на разстояние $r$ от проводника. Изразете резултата в термини на $I$, $r$, и $\mu_0$.

b. Тънка еднородна пръчка с маса $m$ и дължина $L$ е разположена успоредно на проводника , на разстояние $d$ от него. Пръчката може да се върти единствено по ос, перпендикулярна на равнината, определена от проводника и пръчката. Оста минава през средата на пръчката. По пръчката тече постоянен ток $I'$ в посока противоположна на $I$. Пръчката е отклонена на малък ъгъл от равновесното си положение и оставена да осцилира свободно. Намерете периода на малки осцилации чрез $I$, $I'$, $m$, $L$, $d$ и $\mu_0$.

c. Полубезкраен проводник преминава в безкрайна проводяща конична повърхнина, чиято ос съвпада с проводника, както е показано на картинката. По системата тече постоянен ток $I$. Намерете големината и ориентацията на магнитната индукция $B$ на разстояние $r$ от оста, вътре и извън коничния проводник. Изразете резултата в термини на $I$, $r$, и $\mu_0$.

d. Полубезкраен прав проводник преминава в своя край в безкрайна проводяща равнина, която е перпендикулярна на проводника. По системата тече постоянен ток $I$. Намерете големина и посоката на магнитната индукция $B$ на разстояние $r$ от оста на проводника, от двете страни на равнината. Изразете резултата в термини на $I$, $r$, и $\mu_0$.

e. Разгледайте линейната плътност на тока $\vec{J}$, течащ по равнината от предишната подточка, като:

където $dl$ е елементарен линеен елемент, перпендикулярен на направлението, носещо елементарен ток $dI$.

Въведете единичния вектор $\vec{n}$ перпендикулярен на равнината, който да определи положителната посока на преминаване от едната към другата ѝ страна. Векторното произведение $\vec{J}\times\vec{n}$ определя положителната посока за тази компонентата на $B$, която е успоредна на равнината.

Покажете, че при пресичане на равнината, разликата в големините на компонента на $B$, успоредна на равнината, е пропорционална на големината на $J$ в точката на преминаване и намерете константа на пропорционалност.

f. Безкрайна проводяща равнина е успоредна на хомогенно магнитно поле. От двете страни на равнината магнитната индукция има еднаква посока, но различни големини : $B_1$ и $B_2$. Намерете налягането, което изпитва равнината. Изразете отговора чрез $B_1$, $B_2$ и $\mu_0$.

g. Куха проводяща сфера е свързана в своите “полюси” с два полубезкрайни прави прави проводника, ориентири по оста на полюсите. По системата тече постоянен ток $I$. Намерете големината и посоката на магнитната индукция $B$ на разстояние $r$ от оста на полюсите, вътре и извън сферата. Изразете резултата в термини на $I$, $r$ и $\mu_0$.

h. Полюсите на куха проводяща сфера са свързани от вътрешен прав проводник. По повърхността на сферата тече постоянен ток $I$ от единия към другия полюс и след това обратно по проводника. Намерете големината и ориентацията на магнитната индукция $B$ на разстояние $r$ от оста на полюсите, вътре и извън сферата. Изразете резултата чрез $I$, $r$ и $\mu_0$.

Законът на Био-Савар изразява магнитната индукция, създадена в точка от пространството от електричен ток, течащ по елементарен линеен елемент $dl$:

където $r$ е радиус-векторът на точката спрямо елементарния ток.

i. По прав проводник с дължина $L$ тече постоянен ток $I$. Проводникът се наблюдава от точка от симетралната равнина под ъгъл $2\alpha$. Изразете големината на магнитната индукция в тази точка чрез $L$, $I$, $\alpha$ и $\mu_0$.

j. Постоянен ток $I$ тече хомогенно по повърхността на проводяща сфера с радиус $R$, от единия към другия ѝ полюс. Намерете големината на магнитната индукция по екваториалната равнина на сферата, в точка на разстояние $r$ от оста на полюсите, вътре и извън сферата. Изразете резултата в термини на $I$, $R$, $r$ и $\mu_0$.

Решение

ANSWER SHEET FOR PROBLEM No. 1

Код на участника

a.

$B(r) =$

Начертайте магнитните силови линии тук:

b.

$T_{\mathrm{slant}} =$

c.

$B_{\mathrm{OUT}}(r) =$

$B_{\mathrm{IN}}(r) =$

Начертайте магнитните силови линии тук:

d.

$B_{\mathrm{WIRE\ SIDE}}(r) =$

$B_{\mathrm{OTHER\ SIDE}}(r) =$

Начертайте магнитните силови линии тук:

e.

$\Delta B_{\parallel} =$

f.

$p =$

g.

$B_{\mathrm{OUT}}(r) =$

$B_{\mathrm{IN}}(r) =$

Начертайте магнитните силови линии тук:

h.

$B_{\mathrm{OUT}}(r) =$

$B_{\mathrm{IN}}(r) =$

Начертайте магнитните силови линии тук:

i.

$B(r) =$

j.

$B_{\mathrm{OUT}}(r) =$

$B_{\mathrm{IN}}(r) =$

ANSWER SHEET FOR PROBLEM No. 2

Код на участника

a.

$E_{\mathrm{kin}} =$

b.

$E_{\mathrm{pot}} =$

c. Напишете диференциалното уравнение за $\varepsilon$:

$\ddot{x}_{\mathrm{equivalent}} =$

d.

$T_{\mathrm{long}} =$

e.

$E_{\mathrm{mech}} =$

f.

$T_{\mathrm{radial}} =$

g.

$\sigma_{\mathrm{x}} =$

$\sigma_{\mathrm{y}} =$

h. Напишете диференциалните уравнения за $\ddot{x}_{\mathrm{equivalent}}$ и $\ddot{y}_{\mathrm{equivalent}}$:

i.

$\omega_{1;2} =$

j.

$T_{\mathrm{beats}} =$

k.

$G =$

l.

$T_{\mathrm{slant}} =$

m.

$T_{\mathrm{slant}} =$

n.

$T_{\mathrm{twist}} =$

o.

$C =$

ANSWER SHEET FOR PROBLEM No. 3

Код на участника

a.

$a =$

$F_{\mathrm{net}} =$

b.

$v =$

c.

$t' =$

d.

$x =$

e. Напишете уравнението за траекторията и начертайте диаграмата тук.

f.

$\rho_0 =$

g.

$x =$ $\qquad$ $\rho =$

$ct =$ $\qquad$ $\tau =$

Максималната област от пространство-времето, параметризирано от метриката на Риндлер:

h.

$\mathrm{d}s^2 =$

$f =$ $\qquad$ $g =$

i. Напишете уравнението за траекторията и начертайте диаграмата тук.

$\Delta\rho =$

j. Напишете уравнението за траекторията и начертайте диаграмата тук.

$\mathrm{N} =$

k.

$\tau =$

$\nu_{\mathrm{N}} =$

l. Напишете израза за $\mathrm{d}\rho/\mathrm{d}\tau$ и начертайте графиката тук.

m.

$\mathrm{d}t =$

$\varepsilon =$

n.

$\varepsilon =$

$\Delta t =$

---

Оригинал в Архива: th_bg.pdf