Съдържание

RMPh 2012, Теория — Задача 2. ОСЦИЛАЦИИ НА ЕЛАСТИЧНИ ТЕЛА

Оригинал на условието (PDF)Съобщи за грешка

Всички материали от RMPh 2012

Romanian Master of Physics 2012

Условие

В тази задача пренебрегваме гравитационните ефекти. Освен, ако не е казано друго, средите да се считат хомогенни и изотропни.

A. Разгледайте много тънка еластична пръчка, която не може да се огъва. Пръчката е с дължина $L$ , плътност $\rho$ и модул на Юнг $E$ . Сечението на пръчката остава постоянно. Пръчката е леко разтеглена в двата си края и оставена да осцилира свободно.

a. Запишете кинетичната енергия на пръчката в произволен момент в термини на масата ѝ $m$ , дължината ѝ $L$ и степента на промяна на напрежението на опън $\varepsilon$ ( $\varepsilon$ -напрежението на опън).

b. Запишете потенциалната еластична енергия на пръчката в произволен момент в термини на $m$ , $\rho$ , $E$ и $\varepsilon$ .

c. Покажете, че запазването на механичната енергия на пръчката води до характерното диференциално уравнение за незатихващи хармонични трептения. Правейки аналогия с точкова маса $m$ , на която действа сила $\sigma S$ ( $\sigma$ е еластичното напрежение, $S$ е сечението), определете величината, която в тази задача играе ролята на координата.

d. Запишете израза за периода на малки надлъжни трептения на пръчката в термини на $L$ , $\rho$ и $E$ .

B. Разгледайте еластична сфера с радиус $R$ , направена от същия материал, както и пръчката. Нека $\varepsilon$ е напрежението на опън $\Delta R/R$ . Сферата е леко и хомогенно свита и след това оставена да осцилира свободно.

e. Запишете механичната енергия на сферата в произволен момент в термини на $m$ , $R$ , $\rho$ , $E$ , $\varepsilon$ и степента на изменение на $\varepsilon$ .

f. Запишете израза за периода на малки радиални осцилации на сферата в термини на $R$ , $\rho$ и $E$ .

C. Разгледайте много тънка правоъгълна еластична пластина, която не се огъва. Пластината има линейни размери $L$ и $l$ . Дебелината на пластината да се счита за постоянна.

Ефектите от еластичните напрежения $\sigma_x$ и $\sigma_y$ , действащи на пластината НЕ са независими, в смисъл, че разтягането по едното направление води до свиване по другото. В границите на закона на Хук, това може да се запише като:

\begin{aligned} \varepsilon_x &= -\mu\frac{\sigma_y}{E}\,, \\ \varepsilon_y &= -\mu\frac{\sigma_x}{E} \end{aligned}

където безразмерният множител $\mu$ (коефициент на Поасон) е от порядъка на 0.3.

g. Изразете $\sigma_x$ и $\sigma_y$ в термини на $\varepsilon_x$ , $\varepsilon_y$ , $E$ и $\mu$ .

h. Запишете системата от диференциални уравнения за движението на точкова маса $m$ в две ортогонални направления, използвайки като координати еквивалента на намереното в подточка c.

i. Намерете възможните стойности на $\omega$ , за които решенията на горната система са прости незатихващи хармонични осцилации (моди):

\begin{aligned} \varepsilon_x &= A\sin\omega t \\ \varepsilon_y &= B\sin\omega t\,. \end{aligned}

Изразете резултатите в термини на $L$ , $l$ , $\rho$ , $E$ и $\mu$ .

j. В общия случай, решението на горната система уравнения е суперпозиция от два намерени мода. За квадратна пластина ( $L = l$ ) и малък коефициент на Поасон ( $\mu^2 \ll 1$ ), изразете периода на биенето в термини на $\mu$ и на периода $T_{\mathrm{long}}$ на надлъжните осцилации на пръчка със същата дължина.

D. Сега, вместо да е разтегната, пластината е леко приплъзната в едно направление под действието на напрежение при хлъзгане, както е показано на диаграмата. Деформацията при хлъзгане се дефинира като $\tan\gamma \approx \gamma$ , а законът на Хук приема вида:

\gamma = \frac{1}{G}\tau\ ;\ [\tau]_{\mathrm{SI}} = [G]_{\mathrm{SI}} = \mathrm{N/m^2}\,,

Успоредник (пластина), получен от правоъгълник чрез хлъзгане: горната страна е изместена надясно спрямо долната. Над горната страна стрелка надясно, означена с τ; до лявата страна пунктирна вертикална линия и ъгъл γ между нея и страната; дясната страна е означена с L, долната — с l.

Където $G$ е така нареченият модул на хлъзгане.

k. Изразете $G$ в термини на $E$ и $\mu$ .

l. Намерете периода на малки осцилации при хлъзгане на пластината в термини на $L$ , $\rho$ и $G$ . Изразете същия период в термини на $\mu$ и на периода $T_{\mathrm{long}}$ на пръчка със същата дължина, извършваща надлъжни осцилации.

E. Цилиндър с радиус $R$ и дължина $L$ , направен от същия материал, е леко усукан и оставен да осцилира свободно. Деформацията на усукване се дефинира като ъгъла $\theta$ , на който цилиндърът е усукан под действие на въртящ момент. В този случай, законът на Хук приема вида:

\theta = \frac{1}{C}M\ ;\ [C]_{\mathrm{SI}} = [M]_{\mathrm{SI}} = \mathrm{Nm}\,,

където $C$ е така наречената константа на еластично усукване.

m. Намерете периода на малки усукващи осцилации на цилиндъра в термини на $L$ , $\rho$ и $G$ .

n. Изразете константата на еластично усукване чрез $R$ , $L$ , $E$ и $\mu$ .

Решение

Внимание: Непълно решение

В архива липсва файл с решения

ANSWER SHEET FOR PROBLEM No. 1

Код на участника

$B(r) =$