RMPh 2012, Теория — Задача 3. ОСНОВИ НА ОБЩАТА ТЕОРИЯ НА ОТНОСИТЕЛНОСТТА

Romanian Master of Physics 2012

Условие

Айнщайн признава, че идеята за Принципа на еквивалентност (1907) е била “най-щастливата мисъл в живота ми”. Той си спомня: “Седях в стола си на служител в патентното бюро в Берн, когато изведнъж ме осени мисъл: ако човек пада свободно, той няма да усеща теглото си. Бях поразен. Тази простичка мисъл ми направи силно впечатление. Тя ме подтикна към теорията на гравитацията.”

Така че, ако наблюдател е в състояние на свободно падане, той може да бъде разглеждан като инерциална отправна система, в която гравитационното поле липсва. За нещастие, тъй като различните наблюдатели в пространството и времето ще падат с различна скорост и/или в различни направления, Айнщайн осъзнал, че трябва да се използват само локални отправни системи, така че във всяка от тях, ускорението, вследствие на гравитацията, да бъде постоянно по стойност и направление.

Нека разгледаме точков наблюдател с пренебрежима, но не нулева маса, в близост до масивен обект с маса М. Ако гравитационното поле на масивния обект не е много силно и няма други сили, наблюдателят ще се движи по силова линия на гравитационното поле с ускорение (в дадена точка) равно на гравитационното ускорение в тази именно точка. Ако, обаче, масата М е достатъчно голяма, горните разсъждения са неприложими, така че трябва да се работи с концепцията на общата относителност. Вярно е, обаче, че в ситуации със симетрия на плоскост, елементарният пространствено-времеви интервал може да се запише като:

където $\mathrm{d}t'$ е безкрайно малкият времеви интервал, измерен по часовника на наблюдателя. В общия случай $f$ и $g$ са функции на пространствено-времевите координати. По този начин, наблюдаваните елементарни премествания $\mathrm{d}x$ могат да бъдат разглеждани като повлияни от някакъв локален свиващ коефициент. Съответно, времената, необходими да се извършат споменатите премествания, могат да се разглеждат като повлияни от някакъв локален разтягащ фактор.

Трудността в Общата теория на относителността е, че известният ни израз за $\mathrm{d}s^2$ (наречен метрика на Минковски), в който не се съдържат никакви променливи, вече не е в сила. По-долу ще разгледаме най-простата възможна ситуация и ще се опитаме да опишем събитията в пространство-времето, използвайки нов набор от координати (или по-точно параметри), които отчитат свиващите/разтягащите фактори. Това ще ни доведе до други, по-подходящи изрази за $\mathrm{d}s^2$.

Нека разгледаме точков обект с маса на покой $m_0$, първоначално ($t = t' = 0\ \mathrm{s}$) неподвижен върху оста $x$ в точка $x_0 = c^2/a'$. Нека сега той "пада свободно" в положителното направление на оста, така че във всеки момент собственото му ускорение, изпитано в инерциална отправна система, която се движи заедно с обекта, да е константа, $a'$.

a. Напишете израз за ускорението на тялото в отправна система, свързана с “гравитационното поле”, в термини на неговата скорост на "падане" $v$, $a'$ и $c$. Покажете, че равнодействащата сила на тялото е постоянна.

b. Намерете израз за $v$ в термини на $t$, $a'$ и $c$.

(Упътване: достигайки до интеграла, вземете $v$ да бъде пропорционална на тригонометрична функция.)

Поради това, което следва, трябва да дефинираме хиперболичните функции sinh, cosh and tanh:

Разбира се, съществуват подходящи дефиниции за обратните хиперболични функции arcsinh, arccosh and arctanh.

c. Намерете израз за собственото време $t'$ на "падащото" тяло в термини на $t$, $a'$ и $c$.

(Упътване: достигайки до интеграла, вземете $t$ да бъде пропорционално на хиперболична функция. Означете с $\tau$ аргумента на тази функция.)

Както виждате, $\tau$ е пропорционално на $t'$. С други думи, $\tau = \mathrm{const}$ описва събития, които се случват едновременно от гледна точка на “падащия” наблюдател. Така че, следващата стъпка ще бъде да се опитаме да въведем един друг параметър, да кажем $\rho$, така че $\rho = \mathrm{const}$ да описва събития в покой относно “падащия” наблюдател.

d. Използвайки метриката на Минковски и намерените трансформации за времето, намерете израз за положението $x$ на тялото в термини на $a'$, $\tau$ и $c$.

e. Напишете уравнение за траекторията на тялото в двумерно пространство-време $ct$-$x$ (координатите $y$ и $z$ не представляват интерес тук). Начертайте графика на $ct$ от $x$, изчертавайки също миналите и бъдещите светлинни конуси на неподвижен наблюдател, който се намира в началото на координатната система. (Светлинният конус на миналото е областта от пространство-времето, от която светлинните сигнали могат да достигнат координатното начало; светлинният конус на бъдещето е областта от пространство-времето, до която светлинните сигнали, излъчени в координатното начало, могат да достигнат). На същата диаграма начертайте траекторията на неподвижен обект с координата $x_1 > x_0$, който “падащият” обект ще подмине в някакъв момент.

f. В светлината на това, което казахме по-горе, ще се окаже удобно да изберем големината на константата $\rho$, свързана с нашето тяло в покой в отправна система без гравитация, да кажем $\rho_0$, да бъде равна на пространствено постоянния член, появяващ се в уравнението, намерено в предишната подточка. Изразете $\rho_0$ в термини на $a'$ и $c$.

g. Сега естествено ще разширим тези нови “координати”, намерени за “падащото” тяло, за (почти) произволно събитие в пространство-времето. Изразете $x$ и $ct$ в термини на $\rho$ и $\tau$. Съответно, изразете $\rho$ и $\tau$ в термини на $x$ и $ct$. Каква е максималната област от пространство-времето, която може да бъде параметризирана, използвайки тези координати?

h. Трансформирайте метриката на Минковски в термини на $\rho$ и $\tau$, и определете множителите $f$ и $g$ споменати в увода на задачата.

Добре, нека спрем за малко и да разгледаме по-добре метриката, която вие получихте. Тя се нарича метрика на Риндлер, и изглежда аналогично на параметризацията на равнина с полярни координати. Както вероятно очаквате, множителите $f$ и $g$ не са инвариантни при Лоренцова трансформация, но в този най-прост пример, ние може да се върнем към метриката на Минковски, за да получим глобално инвариантна метрика. Обаче, в общия случай, се оказва невъзможно да имаме инвариантна метрика.

Вие също видяхте, че метриката на Риндлер не може да покрие цялото пространство-време. Дори, ако можехме да я разширим, лесно може да се види, че ускоряващ се наблюдател никога не може да получи информация от цялото пространство-време (за разлика от инерциален наблюдател, чийто светлинен конус на миналото непременно в безкрайност покрива цялото пространство-време). Съществува граница на областта в пространство-времето, оттатък която “падащият” наблюдател не може да получи информация. Тази граница е така нареченият хоризонт на събитията.

Най-накрая, след като новата метрика “вижда” ускоряващо се тяло като да е в покой, тя води до това, че неподвижни обекти в гравитационното поле са в движението относно отправната система без гравитация (разгледана по-горе)!

i. За неподвижен обект в точката $x_1$, спомената по-рано, изразете неговата пространствено-времева траектория в координати $\rho$ и $\tau$. Начертайте на диаграма $\tau$ от $\rho$ "траекториите" на двата типа разгледани обекта и определете граничното “разстояние” $\Delta\rho$ между хоризонта на събитията и наблюдателя в “свободно падане”.

j. В момента, в който наблюдателят започва да “пада”, фар, разположен в $x_0$, започва да излъчва много кратки електромагнитни импулси в положително направление на оста $x$. Интервалът между два последователни импулса е $T_0$. Колко такива сигнала ще достигнат наблюдателя? Запишете израза за траекторията на първия от тях в термини на координатите $\rho$ and $\tau$. Начертайте върху диаграма $\tau$ от $\rho$ траекториите на първите три сигнала и на наблюдателя.

k. Очевидно, получените сигнали ще са все по-редки и по-редки, което означава, че ще имат все по-голяма и по-голяма дължината на вълната ( по-малка честота). Нека $\nu_0$ да бъде честота на излъчените импулси. Изразете времето на получаване в термини на времето на излъчване $t$, $x_0$ и $c$. Определете честотата на последния получен сигнал чрез $\nu_0$, $x_0$, $T_0$ и $c$.

l. Каква е големината на бързината на изменение на координата $\mathrm{d}\rho/\mathrm{d}t'$ за сигналите при получаване? Начертайте графика на тази “скорост на светлината по направление на $a'$ в пространство-времето без гравитация” като функция на $\rho$.

m. Един от най-важните аспекти, когато разглеждаме $\mathrm{d}\tau$ като времето, течащо в локална инерциална отправна система, е, че времето в различните точки по $x$-оста ще тече различно не само като функция на тази позиция, но също и като функция на времето $t$, изтекло от момента, в който инерциалният наблюдател е започнал “свободно да пада”. Тъй като метриката на Риндлер не покрива цялото пространство-време, започва да изглежда така, сякаш в точките, образуващи хоризонта на събитията, времето спира. Например, намерете времето $\mathrm{d}t$ ,изтекло в точката $x_0$, като функция на $x_0$, $\mathrm{d}\tau$, $t$ и $c$. Разглеждайки втора точка на малко разстояние $\Delta x_0$ на дясно от $x_0$ (т.е. по посока на гравитационното поле), определете относителното забавяне на два часовника в тези точки $\varepsilon = \Delta(\mathrm{d}t)/\mathrm{d}t$ в термини на $x_0$, $\Delta x_0$, $t$ и $c$.

n. Сега, предположете, че в $t = 0$ наблюдателят започва да “пада” от покой на малко разстояние $\Delta x_0$, така че можем приблизително да разглеждаме $a'$ като гравитационното ускорение $g$ на много слабо и почти хомогенно гравитационно поле, като това в близост до повърхността на Земята. Определете относителното забавяне на часовник, работещ в близост до земната повърхност по отношение на друг идентичен часовник на МКС (Международната космическа станция) на височина $h = 360\ \mathrm{km}$. Какво ще означава това за астронавт, който е на едногодишна мисия на МКС? (Можете да пренебрегнете движението на станцията около Земята.)

Решение

ANSWER SHEET FOR PROBLEM No. 1

Код на участника

a.

$B(r) =$

Начертайте магнитните силови линии тук:

b.

$T_{\mathrm{slant}} =$

c.

$B_{\mathrm{OUT}}(r) =$

$B_{\mathrm{IN}}(r) =$

Начертайте магнитните силови линии тук:

d.

$B_{\mathrm{WIRE\ SIDE}}(r) =$

$B_{\mathrm{OTHER\ SIDE}}(r) =$

Начертайте магнитните силови линии тук:

e.

$\Delta B_{\parallel} =$

f.

$p =$

g.

$B_{\mathrm{OUT}}(r) =$

$B_{\mathrm{IN}}(r) =$

Начертайте магнитните силови линии тук:

h.

$B_{\mathrm{OUT}}(r) =$

$B_{\mathrm{IN}}(r) =$

Начертайте магнитните силови линии тук:

i.

$B(r) =$

j.

$B_{\mathrm{OUT}}(r) =$

$B_{\mathrm{IN}}(r) =$

ANSWER SHEET FOR PROBLEM No. 2

Код на участника

a.

$E_{\mathrm{kin}} =$

b.

$E_{\mathrm{pot}} =$

c. Напишете диференциалното уравнение за $\varepsilon$:

$\ddot{x}_{\mathrm{equivalent}} =$

d.

$T_{\mathrm{long}} =$

e.

$E_{\mathrm{mech}} =$

f.

$T_{\mathrm{radial}} =$

g.

$\sigma_{\mathrm{x}} =$

$\sigma_{\mathrm{y}} =$

h. Напишете диференциалните уравнения за $\ddot{x}_{\mathrm{equivalent}}$ и $\ddot{y}_{\mathrm{equivalent}}$:

i.

$\omega_{1;2} =$

j.

$T_{\mathrm{beats}} =$

k.

$G =$

l.

$T_{\mathrm{slant}} =$

m.

$T_{\mathrm{slant}} =$

n.

$T_{\mathrm{twist}} =$

o.

$C =$

ANSWER SHEET FOR PROBLEM No. 3

Код на участника

a.

$a =$

$F_{\mathrm{net}} =$

b.

$v =$

c.

$t' =$

d.

$x =$

e. Напишете уравнението за траекторията и начертайте диаграмата тук.

f.

$\rho_0 =$

g.

$x =$ $\qquad$ $\rho =$

$ct =$ $\qquad$ $\tau =$

Максималната област от пространство-времето, параметризирано от метриката на Риндлер:

h.

$\mathrm{d}s^2 =$

$f =$ $\qquad$ $g =$

i. Напишете уравнението за траекторията и начертайте диаграмата тук.

$\Delta\rho =$

j. Напишете уравнението за траекторията и начертайте диаграмата тук.

$\mathrm{N} =$

k.

$\tau =$

$\nu_{\mathrm{N}} =$

l. Напишете израза за $\mathrm{d}\rho/\mathrm{d}\tau$ и начертайте графиката тук.

m.

$\mathrm{d}t =$

$\varepsilon =$

n.

$\varepsilon =$

$\Delta t =$

---

Оригинал в Архива: th_bg.pdf