Самара 2013, I кръг (задочен), 10–11 клас — Задача 18

• 230000 км

  $\approx 2.3 \cdot 10^5$ км.

Условие: На каком расстоянии от Земли должна находиться Луна, чтобы ее невозможно было увидеть во время лунного затмения? В расчетах принять во внимание рефракцию света в атмосфере Земли. (15 баллов).

Решение:

Оценим расстояние от Земли, на котором земная тень «заканчивается», т.е. сходится в точку (OE на рис. 7). Из рис. 7 (S – Солнце, E – Земля) видно, что, $\triangle SOS'$ и $\triangle EOE'$ подобны, поэтому

в то же время $OS = OE + ES$, тогда

при выводе последнего выражения мы учли, что $SS'/EE' \gg 1$.

Известно, что Земля примерно в 100 раз меньше Солнца, следовательно, земная тень сходится в точку на расстоянии примерно 0.01 а.е. от Земли, что заведомо больше расстояния до Луны. Казалось бы, так как Луна в видимой области спектра светит отраженным светом, она не должна быть видна во время любого полного затмения. Однако во время даже центральных теневых затмений Луна не исчезает полностью, а становится темнокрасной. Это связано с тем, что солнечные лучи, идущие по касательной к поверхности Земли, преломляются в ее атмосфере и частично достигают Луны даже внутри тени.

Для того, чтобы Луна во время затмений не была видна, она должна находиться ближе к Земле, в той области, где размеры "абсолютной" тени Земли (с учетом рефракции) больше размеров Луны.

Известно, что рефракция у горизонта примерно равна угловому диаметру Луны (или Солнца), т.е. $\approx 0.5^{\circ}$. Следует учесть, что при прохождении "насквозь" через атмосферу, лучи света испытывают преломление как "на входе" в нее, так и "на выходе", так что результирующее отклонение луча в максимуме может достигать $\approx 1^{\circ}$ ($\angle OE'O'$ на рис. 8).

Нам нужно оценить расстояние mE. Треугольник $\triangle Om'm$ – прямоугольный, а $\triangle O'E'E$ – нет, так как $\angle O'E'E = 89^{\circ}$, однако при оценке этим можно пренебречь и считать, что для этих треугольников тоже справедливо соотношение

Так как Луна примерно в 4 раза меньше Земли, то можно считать, что $mE = \frac{3}{4}O'E$.

Оценим $O'E$. $\angle E'O'E = \angle E'OE + 1^{\circ}$, т.к. угол при вершине $E'$ уменьшился на $1^{\circ}$, а при E – не изменился. $\angle E'OE \approx \frac{EE'}{OE} = 4.3 \cdot 10^{-3}$ рад $\approx 14'$. Следовательно $\angle E'O'E = 1^{\circ}14'$. Считая $\triangle O'E'E$ прямоугольным, получим

Отсюда $mE \approx \frac{3}{4} \cdot 3 \cdot 10^5 \approx 2.3 \cdot 10^5$ км, т.е., чтобы "исчезать" во время затмений, Луна должна находиться примерно в полтора раза ближе к Земле, чем сейчас.

Ответ: Луна должна находиться на расстоянии $\approx 2.3 \cdot 10^5$ км от Земли, чтобы "исчезать" во время затмений. ($\text{\textdollar}_{\max} = 15$ баллов).