Самара 2013, I кръг (задочен), 10–11 клас — Задача 17

• Радиус орбиты спутника изменяться не будет.

Условие: Вокруг Земли по геостационарной орбите движется спутник-ретранслятор массой 2 тонны. Спутник непрерывно излучает вниз радиоизлучение со средней мощностью 3 кВт. Оцените, насколько (за счет излучения) изменится радиус орбиты спутника за год. (14 баллов).

Решение:

Дано: $P = 3$ кВт, $m = 2$ тонны, $t = 1$ год.

Найти: $\Delta R$ – ?

Спутник, излучающий вниз, фактически является фотонной ракетой (хотя и с очень малой тягой). За время $\Delta t$ он испускает энергию $P \cdot \Delta t$ (где P – мощность излучения), при этом спутник получает импульс, равный $P \cdot \Delta t/c$ ($c$ – скорость света). Следовательно, на спутник действует постоянная по модулю направленная вверх сила давления, равная $F_p = P/c$.

Однако на спутник, движущийся по круговой орбите, действует также постоянная по модулю сила $F_{at}$, направленная вниз – сила тяготения Земли. Сила $F_p$ частично компенсирует силу тяготения $F_{at}$, однако результирующая сила также будет постоянной и направленной вниз, поэтому спутник, уже находящийся на некоторой круговой орбите, на этой орбите и останется. Следовательно, радиус орбиты изменяться не будет. Заметим также, что даже без вычислений очевидно, что сила тяготения намного превосходит силу F (в действительности - на $7 \div 8$ порядков), а это означает, что орбита спутника почти не будет отличаться от геостационарной орбиты для обычного спутника (аккуратный подсчет даст разницу в радиусах орбит около 20 м).

Ответ: радиус орбиты спутника изменяться не будет. ($\text{\textdollar}_{\max} = 14$ баллов).