Самара 2013, I кръг (задочен), 10–11 клас — Задача 16

• $\mathfrak{M} = \frac{8}{(4+\sqrt{2})}\pi^2\frac{L^3}{G\,T^2}$

Условие: Четыре звезды одинаковой массы образуют квадрат со стороной L и двигаются по одной окружности с периодом T. Найти массы звезд. (13 баллов).

Решение:

Дано: $L$, $T$, $\mathfrak{M}_1 = \mathfrak{M}_2 = \mathfrak{M}_3 = \mathfrak{M}_3 = \mathfrak{M}$.

Найти: $\mathfrak{M}$ – ?

Рассмотрим круговое движение звезды 1 (см. рис. 6). Поскольку последняя движется по окружности с постоянной скоростью, то результирующая сила, действующая на данное тело – центростремительная сила. Она определяется векторной суммой трех сил притяжения – $\vec{F}_{21}$, $\vec{F}_{31}$, $\vec{F}_{41}$, действующих со стороны трех других звезд на данную.

Согласно правилу сложения векторов, с использованием свойств квадрата имеем:

С другой стороны центростремительную силу можно представить в виде:

учитывая, что движение по окружности является равномерным и связь радиуса окружности с стороной треугольника

в результате получаем уравнение вида (второй закон Ньютона для звезды 1):

Ответ: $\mathfrak{M} = \frac{8}{(4+\sqrt{2})}\pi^2\frac{L^3}{G\,T^2}$. ($\text{\textdollar}_{\max} = 13$ баллов).