Самара 2013, I кръг (задочен), 10–11 клас — Задача 15

• 121 сут

  $t_{fall} = 0.33$ года $= 121$ день.

Условие: За какое время можно упасть на Солнце с орбиты Марса, если падать с нулевой начальной скоростью относительно Солнца (масса Солнца – $2 \cdot 10^{33}$ г, радиус Солнца – $7 \cdot 10^5$ км, большая полуось орбиты – 1.52 а.е.)? (13 баллов).

Решение:

Дано: $M_{\odot} = 2 \cdot 10^{33}$ г, $R_{\odot} = 7 \cdot 10^5$ кмб $r_M = 1.52$ а.е.

Найти: $t_{fall}$ – ?

Время падения на Солнце (или на любой другой объект в подобных условиях) легче всего получить, если считать, что падение происходит по так называемому "вырожденному" эллипсу – эллипсу с нулевой малой полуосью (т.е. просто отрезку прямой).

Тогда расстояние от начальной точки падения до Солнца $r_M$ будет равно большой оси $2a$ этого эллипса (следовательно, $a = r_M/2$), а время падения – половине периода обращения $T$ по такому эллипсу ($t_{fall} = T/2$). Для вычисления периода нужно воспользоваться III законом Кеплера:

здесь учтено, что $a_{\oplus} = 1$ а.е. – среднее расстояние от Земли до Солнца, $T_{\oplus} = 1$ год – сидерический период обращения Земли вокруг Солнца. Учитывать то, что Солнце – не материальная точка, очевидно бессмысленно, поскольку радиус Солнца примерно в 200 раз меньше расстояния от Земли до Солнца.

Ответ: $t_{fall} = \frac{T_{\oplus}}{2}\left(\frac{r_M}{2a_{\oplus}}\right)^{3/2} = 0.33\,\text{года} = 121\,\text{день}$. ($\text{\textdollar}_{\max} = 13$ баллов).