Самара 2013, I кръг (задочен), 10–11 клас — Задача 14

• 13.5 m/(кв. секунда)

Условие: В некотором городе в результате засветки неба уличным освещением предельная звездная величина звезд, видимых невооруженным глазом, оказалась равной $m_{\max} = 3.5^m$. Оцените поверхностную яркость неба (звездную величину, приходящуюся на квадратную угловую секунду небесной сферы) в этом городе. (12 баллов).

Решение:

Дано: $m_{\max} = 3.5^m$.

Найти: $m_{sky}$ – ?

Предельное угловое разрешение человеческого глаза составляет $\beta_{\min} = 1 \div 2'$ или $\beta_{\min} \approx 100''$. Поэтому любая звезда видна на небе, вообще говоря, не как точка, а как пятно с характерным угловым размером $\beta_{\min}$. Угловая площадь такого пятна составляет $\Omega_S = 10^4$ кв. секунд. Будем считать, что для самых слабых видимых невооруженным глазом звезд поверхностная яркость одной кв. секунды неба должна примерно совпадать с поверхностной яркостью одной кв. секунды звезды.

Освещенность, создаваемая одной кв. секундой небосвода есть

Так как предельная звездная величина по условию равна $m_{\max} = 3.5^m$, то поверхностная яркость 1 кв.секунды звезды (и неба) можно определить по формуле Погсона (29):

Это и есть искомая оценка.

Ответ: $m_{sky} = 13.5^m/$(кв. секунда). ($\text{\textdollar}_{\max} = 12$ баллов).