Самара 2013, I кръг (задочен), 10–11 клас — Задача 6

• 227000 км/с

  $c = 2.27 \cdot 10^5$ км/с.

Условие: Датский астроном Олаф Рёмер (1644-1710) в 1675 г предложил оригинальный метод определения скорости света, основанный на данных наблюдений с Земли затмений спутника Юпитера, Ио. Рёмер наблюдал затмение Ио, в момент противостояния Юпитера, затем вычислял момент времени затмения спутника, когда Юпитер должен находиться в верхнем соединении. Обнаруженная разность времен вычисленного и измеренного ($\delta t = 22$ мин) он объяснял конечностью скорости света, и разностью путей, которые проходит свет от Юпитера до Земли в двух указанных положениях. Используя лишь закон Тициуса-Боде и указанную разность, оцените скорость света, полученную Рёмером. (5 баллов).

Решение:

Дано: $\delta t = 22$ мин $= 1320$ сек;

Найти: $c$ – ?

Согласно рис. 4, расстояние от Земли до Юпитера в момент его противостояния (конфигурация EPC3) есть

Поскольку расстояние от планеты до спутника много меньше гелиоцентрических расстояний планет $r_J$, $r_{\oplus}$, то далее мы будем пренебрегать указанным расстоянием в решении.

Расстояние от Земли до Юпитера в момент его верхнего соединения (конфигурация EPC1) есть

Следовательно, разность расстояний которые преодолевал свет в первом и втором случае есть

Как известно, расстояние от Земли до Солнца есть $r_{\oplus} = 1$ а.е $= 1.496 \cdot 10^8$ км. В этом можно также убедиться, воспользовавшись законом Тициуса-Боде (который определяет расстояние планеты от Солнца):

где $n$ – планетный индекс, для каждой планеты, принимающий свое значение. Так для Меркурия – $n = \infty$, а для Венеры – $n = 0$, для Земли – $n = 1$. На преодоление пути $\Delta r$ свет тратит время $\delta t$, следовательно, $c$ – искомая величина скорости света, полученная Рёмером, есть

Ответ: $c = \frac{2\, r_{\oplus}}{\delta t} = 2.27 \cdot 10^5$ км/с. ($\text{\textdollar}_{\max} = 5$ баллов).