Самара 2013, II кръг (задочен), 10–11 клас — Задача 18. Светимость квазара ULAS J1120+0641

• L_q = 1.06·10¹⁴ L_☉ = 4.06·10⁴⁰ Вт.

Дано: $\Delta t = 4$ часа, $r = 12.9$ млрд св. лет; $\lambda_{\max} = 10^{-6}$ м;

Найти: $\eta$ – ?

Для определения светимости квазара воспользуемся известной формулой для светимости звезды:

где $R_q$ – радиус квазара, $\sigma = 5.670 \cdot 10^{-8}$ Вт/(м$^2 \cdot K^4$) – постоянная Стефана-Больцмана; $T_{\text{eff}}$ – эффективная температура поверхности квазара.

Для определения радиуса квазара учтем, что кратчайшая вариация его блеска непосредственно определяет его размеры. Действительно, допустим в момент времени $t_1$ в силу внутренних физических процессов светимость квазара по всей поверхности начала увеличиваться (например, в результате незначительного гравитационного сжатия), тогда наблюдатель это зафиксирует благодаря лучам пришедшим из точки $A$ – ближайшей к наблюдателю (см. рис. 17), в последующие моменты времени световые лучи с большей интенсивностью будет приходить с опозданием от других, более далеких точек поверхности квазара. Наконец, в момент времени $t_2$ придет луч из точки B (самой далекой от наблюдателя и доступной наблюдениям). В течение времени $\Delta t = t_2 - t_1$ освещенность, создаваемая квазаром у поверхности Земли будет плавно увеличиваться. Добиться меньшего времени изменения блеска невозможно (это противоречит теории относительности Эйнштейна), если мы предполагаем, что изменением светимости квазара "управляют" глобальные процессы.

Тогда радиус квазара есть

где $c = 3 \cdot 10^8$ м/c – скорость света в вакууме. Поскольку квазар – очень далекий объект, то для него справедлив закон Хаббла:

где $H = 73.5 \pm 3.2$ км/(c $\cdot$ Мпк) – постоянная Хаббла (по данным эксперимента WMAP). Столь большая скорость удаления квазара от Земли должна порождать значительное спектральное смещение $z = \Delta\lambda/\lambda_0$ – относительное изменение длины какой-либо спектральной линии. Последний параметр можно непосредственно связать с лучевой скоростью удаления квазара $V_r$ посредством релятивистской формулы Доплера (см. например учебное пособие "лабораторный практикум по астрофизике", Воробьева Э.Н., Филиппов Ю.П.):

откуда следует квадратное уравнение относительно $z$:

Зная параметр $z$ можно определить истинную длину волны излучения, отвечающую спектру излучения квазара:

Далее воспользуемся законом смещения Вина для определения яркостной температуры $T_B$ квазара на длине $\lambda_0$:

яркостная температура в видимом диапазоне (как и в случае звезд) должна быть по порядку величины равна эффективной температуре поверхности квазара $T_{\text{eff}}$, тогда будем полагать далее

Используя выражение для светимости Солнца, аналогичное (56), можно представить светимость квазара в виде:

здесь $L_{\odot} = 3.846 \cdot 10^{26}$ Вт – светимость Солнца, $R_{\odot} = 6.961 \cdot 10^8$ м – его радиус, $T_{\text{eff}}^{\odot} = 5785$ К – эффективная температура поверхности Солнца.

Согласно данным эксперимента светимость квазара оценивается значением $6.3 \cdot 10^{13} L_{\odot}$, что весьма близко к полученной нами оценке.

Ответ: $L_q = 1.06 \cdot 10^{14} L_{\odot} = 4.06 \cdot 10^{40}\,\text{Вт}$. ($\text{\textdollar}_{\max} = 15$ баллов).