Съдържание

Самара 2013, II кръг (задочен), 10–11 клас — Задача 17. Фантастический эксперимент с Солнцем и Землей

Оригинал на условието (PDF)Съобщи за грешка

Всички материали от Самара 2013

Условия конкурсных задач олимпиады по астрономии SAMRAS-2013 среди учащихся 10-11 классов заочного тура № 2 · 14 т.

Условие

Условие. Предположим, что в результате фантастического эксперимента на Солнце остались только протоны, а на Земле – только электроны. Во сколько раз возникшая сила электростатического взаимодействия будет больше их гравитационного взаимодействия до исчезновения других частиц? Все необходимые численные данные возьмите из справочников. Задача является оценочной, поэтому можете считать, что количества протонов и нейтронов в среднем одинаковы, а другие элементарные частицы можете вообще не учитывать. (14 баллов).

Отговори

Решение

Прежде всего определим силу притяжения (обусловленную гравитационным взаимодействием). Согласно закону всемирного тяготения имеем

F_G = \frac{G\,\mathfrak{M}_{\oplus}\,\mathfrak{M}_{\odot}}{a_{\oplus}^2} = 3.543 \cdot 10^{22}\,\text{Н}. \qquad (49)

$G = 6.673 \cdot 10^{-11}$ Н·м $^2$ /кг $^2$ – гравитационная постоянная, $\mathfrak{M}_{\oplus} = 5.974 \cdot 10^{24}$ кг – масса Земли, $\mathfrak{M}_{\odot} = 1.989 \cdot 10^{30}$ кг – масса Солнца, $a_{\oplus} = 1.496 \cdot 10^{11}$ м – большая полуось земной орбиты (среднее расстояние Земли от Солнца).

Для определения силы электростатического взаимодействия - силы Кулона, необходимо определить суммарные электрические заряды Земли и Солнца.

Определим заряд Солнца. Как известно, Солнце состоит из водорода ( $\chi_H = 73.46\%$ ), гелия ( $\chi_{He} = 24.85\%$ ), кислорода ( $\chi_O = 0.77\%$ ), углерода ( $\chi = 0.29\%$ ), железа ( $\chi_{Fe} = 0.16\%$ ), неона ( $\chi_{Ne} = 0.12\%$ ), азота ( $\chi_N = 0.10\%$ ) и других химических элементов с меньшими массовыми долями, которыми в дальнейшем будем пренебрегать (эти данные можно найти в астрономической литературе, в крайнем случае в электронной энциклопедии Wikipedia). По определению массовая доля вещества есть

\chi_i = \frac{\mathfrak{M}_i}{\mathfrak{M}_{\odot}} = \frac{m_{0i}\,N_i}{\mathfrak{M}_{\odot}} = \frac{\mu_i\,N_i}{N_A\,\mathfrak{M}_{\odot}} \ \Rightarrow \ N_i = \mathfrak{M}_{\odot}\,N_A\,\frac{\chi_i}{\mu_i}, \qquad (50)

здесь $\mathfrak{M}_i$ – масса $i$ -го сорта вещества в теле Солнца, $\mu_i$ – его молярная масса, $m_{0i}$ – масса одного атома данного химического элемента, $N_i$ – число таких атомов в теле Солнца, $N_A = 6.022 \cdot 10^{23}$ моль $^{-1}$ – постоянная Авогадро. От атома $i$ -го сорта остается после эксперимента только $Z_i$ протонов, где $Z_i$ – порядковый номер данного химического элемента в таблице Менделеева. Следовательно, суммарный заряд Солнца есть

Q_{\odot} = \sum_{i=1}^{N} q_p\,Z_i\,N_i = q_p\,\mathfrak{M}_{\odot}\,N_A\sum_{i=1}^{N} Z_i\,\frac{\chi_i}{\mu_i} = 1.662 \cdot 10^{38}\,\text{Кл}. \qquad (51)

где $q_p = 1.602 \cdot 10^{-19}$ Кл – заряд протона. Значения параметров формулы (54) представлены в таблице 4.

Таблица 4

	Химический элемент
	Н	He	O	C	Fe	Ne	N
$\chi$ , %	73.46	24.85	0.77	0.29	0.16	0.12	0.10
$Z$	1	2	8	6	26	10	7
$\mu$ , $\times 10^{-3}$ кг/моль	1	4	16	12	52	20	14

Некоторые свойства основных химических элементов Солнца (при определении молярной массы учтено равенство количеств протонов и нейтронов в ядре).

Замечание: для оценки заряда Солнца, в принципе, можно ограничиться учетом лишь водорода и гелия, поскольку лишь данные элементы определяют порядок искомой величины. Аналогично рассуждая (c учетом, что в нейтральном атоме количество протонов равно количеству электронов) можно определить заряд Земли:

Q_{\oplus} = \sum_{j=1}^{M} q_e\,Z_j\,N_j = q_e\,\mathfrak{M}_{\oplus}\,N_A\sum_{j=1}^{M} Z_j\,\frac{\chi_j}{\mu_j} = 5.694 \cdot 10^{32}\,\text{Кл}. \qquad (52)

где $q_e = -1.602 \cdot 10^{-19}$ Кл – заряд электрона.

Здесь мы учли, что основными элементами Земли являются железо ( $\chi_{Fe} = 32.1\%$ ), кислород ( $\chi_O = 30.1\%$ ), кремний ( $\chi_{Si} = 15.1\%$ ), магний ( $\chi_{Mg} = 13.9\%$ ), сера ( $\chi_S = 2.9\%$ ), никель ( $\chi_{Fe} = 1.8\%$ ), кальций ( $\chi_{Ca} = 1.5\%$ ), и алюминий ( $\chi_{Fe} = 1.4\%$ ). Значения основных параметров формулы (52) представлены в таблице 5.

Таблица 5

	Химический элемент
	Fe	O	Si	Mg	S	Ni	Ca	Al
$\chi$ , %	32.1	30.1	15.1	13.9	2.9	1.8	1.5	1.4
$Z$	26	8	14	12	16	28	20	13
$\mu$ , $\times 10^{-3}$ кг/моль	52	16	28	24	32	56	40	26

Некоторые свойства основных химических элементов Земли (при определении молярной массы учтено равенство количеств протонов и нейтронов в ядре).

Следовательно, закон Кулона для Земли и Солнца можно представить в виде:

F_E = \frac{k\,Q_{\odot}\,|Q_{\oplus}|}{a_{\oplus}^2} = k\,q_p^2\,N_A^2\,\frac{\mathfrak{M}_{\odot}\,\mathfrak{M}_{\oplus}}{a_{\oplus}^2}\left[\sum_{i=1}^{N} Z_i\,\frac{\chi_i}{\mu_i}\right] \times \left[\sum_{j=1}^{M} Z_j\,\frac{\chi_j}{\mu_j}\right] = 3.806 \cdot 10^{58}\,\text{Н}. \qquad (53)

Следовательно, отношение указанных сил есть

\eta = \frac{F_E}{F_G} = \frac{k\,q_p^2\,N_A^2}{G}\left[\sum_{i=1}^{N} Z_i\,\frac{\chi_i}{\mu_i}\right] \times \left[\sum_{j=1}^{M} Z_j\,\frac{\chi_j}{\mu_j}\right] = 1.074 \cdot 10^{36} \approx 10^{36}. \qquad (54)

Ответ: $\eta = \frac{F_E}{F_G} \approx 10^{36}$ . ( $\text{\textdollar}_{\max} = 14$ баллов).

Оригинал в Архива: Tasks[SAmRAS_2013-2]_10-11 classes.pdf · официални решения: TasksDecisions[SAmRAS_2013-2]_10-11 classes.pdf