Самара 2013, II кръг (задочен), 10–11 клас — Задача 16. Суть физической природы малого гало

• Двукратное преломление световых лучей в ледяных кристаллах-призмах гексагональной формы; минимальный угол отклонения для призмы с Θ = 60° и n = 1.313 равен 22°.

В наиболее общем смысле, гало – это атмосферное явление, представляемое взору человека как светлые круги, дуги, столбы, пятна, наблюдаемые вокруг или вблизи дисков Солнца или Луны. Наиболее часто встречаются кольца вокруг этих светил с угловым радиусом примерно $22^{\circ}$ – это, так называемое, малое гало. Как правило, малое гало выглядит замкнутым кольцом, кроме тех случаев, когда перисто-слоистые облака неравномерно распределены по небу; оно обычно ярче всего сверху или снизу, справа или слева, реже в промежуточных направлениях.

Необходимым условием возникновения феномена гало являются определенные погодные условия. Как правило, данный феномен наблюдается при смене тихой и ясной погоды на ветреную, что сопровождается падением давления воздуха, небосвод покрывается тонкой белой дымкой. Свет от Солнца, проходя через эту дымку, рассеивается подобно свету настольной лампы на матовом стекле. При этом очертания Солнца становятся расплывчатыми. Такая погода случается довольно часто. Но кажется весьма странным, что так много людей никогда не замечали гало вокруг Солнца.

Достаточным условием возникновения феномена гало является наличие малых ледяных кристаллов правильной формы в перисто-слоистых или других облаках, порождающих дымку на небосводе. В морозный день ледяные кристаллы могут находиться и в воздухе, окружающем наблюдателя.

Причина возникновения малого гало – двукратное преломление световых лучей в ледяных кристаллах-призмах гексагональной формы (см. рис. 13). Поскольку показатель преломления электромагнитной волны, падающей на ледяной кристалл зависит от ее длины, то световые волны разных длин будут преломляться на кристалле по-разному. Это приводит к появлению слегка окрашенных в радужные цвета элементов гало (дисперсия света). Внутренний край малого гало достаточно резко ограничен (см. рис. 4), он окрашен в красный цвет. За ним следует желтый, неяркий, переходящий в белый.

Докажем, что радиус кольца должен быть равен $22^{\circ}$. Для этого рассмотрим задачу о прохождении светового луча (волны с определенной длиной) через трехгранную призму с преломляющим углом $\Theta$ и показателем преломления $n$. Дело в том, что гексагональные кристаллы в сечении (перпендикулярном их главной оси симметрии) есть ни что иное как усеченная призма с углом при вершине $\Theta = 60^{\circ}$ (в последнем факте можно легко убедиться).

Пусть луч падает на левую грань призмы под углом $\alpha_1$ (см. рис. 14). Преломившись на границе "вакуум-среда", луч будет распространяться под углом $\beta_1$ к нормали по прямой $AB$. На вторую грань данный луч упадет под углом $\beta_2$ и, преломившись, выйдет под углом $\alpha_2$ к нормали. Используя закон преломления в точках А а В, можно записать:

В результате прохождения через призму световой луч отклоняется от первоначального направления на угол $C_1CB = \delta$, называемый углом отклонения луча. Из рис. 14, очевидно, что $\delta = \angle CAB + \angle CBA$. Поскольку $\angle CAB = \alpha_1 - \beta_1$, $\angle CBA = \alpha_2 - \beta_2$, то

Из треугольника $\Delta ABD$ следует, что

Для четырехугольника $ADB\Theta$ справедливо следующее равенство:

С учетом последнего результата, выражение (42) можно представить в виде:

Рассмотрим случай с симметричным ходом луча в призме — когда траектория луча симметрична относительно биссектрисы преломляющего угла (рис. 15). В данном случае

Здесь и далее $n = 1.313$ – показатель преломления водяного льда в атмосфере Земли для желто-зеленых лучей, $\Theta = 60^{\circ}$, $\alpha_1 = n \cdot \sin[\Theta/2] = 41.0^{\circ}$ – угол падения светового луча в случае симметричного хода световых лучей.

C учетом представленных равенств закон (41) можно представить в виде:

Можно строго доказать, что при симметричном ходе светового луча угол отклонения $\delta$ минимален. Для этого с использованием (41), (43) запишем $\delta$ как функцию $\beta_1$:

где $\alpha_1(\beta_1) = \arcsin(n \cdot \sin\beta_1)$,

$\alpha_2(\beta_1) = \arcsin(n \cdot \sin(\Theta - \beta_1))$.

Доказательство данного факта можно провести двумя альтернативными способами:

1. Графический способ. Рассмотрим поведение функции $\delta(\alpha_1)$, графически (см. рис. 16). Из рисунка видно, что кривая имеет один минимум, отвечающий значению $\alpha_1 = 41.0^{\circ}$, при этом $\delta = 22^{\circ}$. Важно отметить, что в окрестности минимума угол $\delta$ меняется крайне незначительно на интервале значений $\alpha_1 \in (36^{\circ}, 46^{\circ})$. Это означает, что все лучи падающие в этом интервале углов будут распространяться после прохождения кристалла фактически в одном направлении, под углом отклонения $\delta \approx 22^{\circ}$. На других участках функция $\delta(\alpha_1)$ быстро меняется.

2. Аналитический способ – задача поиска экстремума функции. Решим задачу на экстремум в отношении полученной функции. Для этого вычислим первую производную от $\delta$ по переменной $\beta_1$ и приравняем ее к нулю:

или

из сопоставления левых и правых частей уравнения приходим к заключению, что $\Theta - \beta_1 = \beta_1$, тогда $\beta_1^0 = \Theta/2$ – есть точка экстремума (что отвечает ситуации симметричного хода светового луча, см. рис. 15). Для того, чтобы строго доказать, что точка экстремума есть точка минимума необходимо вычислить вторую производную $\delta(\beta_1)''$ и исследовать знак последней при $\beta_1^0 = \Theta/2$. Точке минимума отвечает ситуация $\delta(\beta_1^0)'' > 0$.

поскольку $n > 1$ для любой вещества, $\Theta < 180^{\circ}$, то числитель последнего выражения, очевидно, всегда больше нуля. Знаменатель также больше нуля при условии, что $1 - n^2 \cdot \sin^2\Theta/2 > 0$, тогда $\Theta < 2\arcsin(1/n)$. Так, для водяного льда $n = 1.313$ и, следовательно, $\Theta < 99.2^{\circ}$. Т.о. $\delta(\beta_1^0)'' > 0$, что и требовалось доказать.

Итак, минимальный угол отклонения достигается при симметричном ходе светового луча. Легко вычислить минимальный угол отклонения $\delta_{\min}$ согласно (46). Для трехгранной призмы с преломляющим углом $\Theta = 60^{\circ}$ он равен $\delta_{\min} = 22^{\circ}$ при $n = 1.313$ (водяной лед) для желто-зеленого света.

Можно легко убедиться, что пучок световых лучей, падающих на кристалл под углами, близкими к $\alpha = \arcsin(n \cdot \sin\Theta/2) = 41^{\circ}$ (см. рис. 16), проходит через кристалл почти не рассеиваясь (меньше других "разбросаны по углам") и выходят почти все под углом $\delta_{\min}$ к первоначальному направлению. Наибольшая концентрация лучей эквивалентна наибольшей интенсивности света. Таким образом, наблюдатель будет видеть светящееся кольцо с угловым радиусом $\delta_{\min} = 22^{\circ}$.

Ответ: Причина возникновения малого гало – двукратное преломление световых лучей в ледяных кристаллах-призмах гексагональной формы. ($\text{\textdollar}_{\max} = 13$ баллов).