Самара 2013, II кръг (задочен), 10–11 клас — Задача 15. Восходящие и заходящие звезды

• 0.6

Дано: $\varphi = 53^{\circ}12'$,

Найти: $\eta$ – ?

Как известно, все светила на небесной сфере можно условно разделить на три категории: 1) незаходящие, 2) восходящие и заходящие и 3) невосходящие.

Для ответа на вопрос задачи следует сначала определить долю незаходящих звезд $\eta_1$ в г. Самара. Из рис. 1 видно, что для таких светил полярное расстояние $p_{\max} = \varphi \Rightarrow \delta \geq 90^{\circ} - \varphi$.

Количество незаходящих звезд в данной месте наблюдения пропорционально площади шарового сектора $S_{\text{sec}}$ c углом раствора $\varphi$, т.е.

. Полное количество звезд на всей небесной сфере пропорционально площади всей ее поверхности

. Из справочника по математике (например, справочник Выгодского) воспользуемся формулой площади шарового сектора:

тогда

Нетрудно видеть, что такую же долю $\eta_1$ составляют в г. Самара невосходящие звезды. Следовательно, доля, которую составляют восходящие и заходящие звезды в г. Самара есть

Ответ: $\eta = 0.6$ ($\text{\textdollar}_{\max} = 12$ баллов).