Съдържание

Самара 2013, II кръг (задочен), 10–11 клас — Задача 14. Антенна обсерватории "Спектр-Р"

Оригинал на условието (PDF)Съобщи за грешка

Всички материали от Самара 2013

Условия конкурсных задач олимпиады по астрономии SAMRAS-2013 среди учащихся 10-11 классов заочного тура № 2 · 12 т.

Условие

Условие. Обсерватория «Спектр-Р» находится на орбите с большой полуосью 200 тыс. км и расстоянием в апогее 350 тыс. км. Направление параболической антенны, обеспечивающей связь аппарата с наземным центром управления при прохождении перигея орбиты, необходимо корректировать раз в 3 минуты. Передача данных антенной ведется на частоте 15 ГГц. Оцените диаметр этой антенны. (12 баллов).

Отговори

Решение

Дано: $a = 2 \cdot 10^5$ км, $Q = 3.5 \cdot 10^5$ км, $\Delta t = 3$ мин, $\nu = 1.5 \cdot 10^{10}$ Гц.

Найти: $D_a$ – ?

Прежде всего отметим, что у орбиты аппарата есть апогей и перигей, следовательно, обсерватория движется вокруг Земли. Вычислим расстояние до обсерватории в перигее орбиты $q$ , зная расстояние в апогее $Q$ и большую полуось $a$ .

Очевидно, что

2a = q + Q, \ \Rightarrow \ q = 2a - Q = 5 \cdot 10^4\,\text{км},

Далее определим скорость обсерватории в перигее: воспользуемся законом сохранения энергии и момента импульса (момента количества движения – МКД) для космического аппарата, находящегося в перигее и апогее:

\text{закон сохранения МКД:} \quad m\,q\,V_q = m\,Q\,V_Q, \ \Rightarrow \ V_Q = V_q\left(\frac{q}{Q}\right), \qquad (31)

\text{закон сохранения энергии:} \quad \frac{m\,V_q^2}{2} - \frac{G\,m\,\mathfrak{M}_{\oplus}}{q} = \frac{m\,V_Q^2}{2} - \frac{G\,m\,\mathfrak{M}_{\oplus}}{Q}, \qquad (32)

откуда следует выражение для $V_q$ :

V_q^2\left(1 - \left(\frac{q}{Q}\right)^2\right) = \frac{G\,\mathfrak{M}_{\oplus}}{q\,Q}(Q - q), \ \Rightarrow \ V_q = \sqrt{2G\,\mathfrak{M}_{\oplus}\left(\frac{Q}{q}\right)\frac{1}{q + Q}} =

= \sqrt{\frac{G\,\mathfrak{M}_{\oplus}}{R_{\oplus}^2}\left(\frac{Q}{2a - Q}\right)\frac{R_{\oplus}^2}{a}} = \sqrt{g_0\,R_{\oplus}\left(\frac{Q}{2a - Q}\right)\frac{R_{\oplus}}{a}} = V_I\sqrt{\left(\frac{Q}{2a - Q}\right)\frac{R_{\oplus}}{a}} =

= 3.74\,\text{км/c}. \qquad (33)

здесь учтено, что $V_I = \sqrt{g_0\,R_{\oplus}} = 7.91$ км/c – первая космическая скорость у поверхности Земли, $g_0 = G\,\mathfrak{M}_{\oplus}/R_{\oplus}^2 = 9.81$ м/c $^2$ – ускорение свободного падения у поверхности Земли, $R_{\oplus} = 6378$ км – средний экваториальный радиус Земли.

Полярная диаграмма направленности антенны: концентрические окружности и радиальные линии с отметками углов 0°–330° через 30°; узкий зеленый лепесток направлен вверх, стрелками отмечена ширина лепестка около 5°. — Рис. 11. К определению диаграммы направленности параболической радиоантенны.

Вычислим угловую скорость движения обсерватории при наблюдении с Земли. Поскольку $q/R_{\oplus} \approx 7.8$ , то расстоянием между центром Земли и наземным центром управления можно пренебречь. Тогда

\omega_q = \frac{V_q}{q} = 7.48 \cdot 10^{-5}\,\text{рад/c}. \qquad (34)

Далее заметим, что любая параболическая радиоантенна излучает преимущественно вперед, в область пространства, имеющую форму лепестка фикуса (см. рис. 11). Причем угол между касательными к данному "лепестку" определяет угловое разрешение антенны $\beta$ . Если Земля выпадает из данного лепестка, то сигнал от антенны не достигнет антенны наземной станции и связь будет прервана.

Из условия следует, что за время $\Delta t$ Земля, с точки зрения обсерватории, успевает переместиться на угловое расстояние $\beta$ (после чего излучение антенны перестает "попадать" на Землю и антенну необходимо поворачивать). Следовательно, угловое разрешение антенны составляет

\beta = \omega_q \cdot \Delta t = 0.0135\,\text{рад} \approx 46.3'. \qquad (35)

С другой стороны, угловое разрешение антенны представляется в виде:

\beta \approx \frac{\lambda}{D_a} = \frac{c}{\nu\,D_a} \qquad (36)

Из выражений (35) и (36) следует, что

D_a = \frac{c}{\nu\,\omega_q \cdot \Delta t} = 1.48\,\text{м} \approx 1.5\,\text{м}. \qquad (37)

где $c = 3 \cdot 10^8$ м/c – скорость света. Реальный диаметр антенны реальной обсерватории чуть больше 1.5 метра, и этот ответ можно получить при более точных вычислениях (необходимо учитывать коэффициент пропорциональности в (36) между $\beta$ и $\frac{\lambda}{D_a}$ , близкий к единице).

Ответ: $D_a = 1.5$ м ( $\text{\textdollar}_{\max} = 12$ баллов).

Оригинал в Архива: Tasks[SAmRAS_2013-2]_10-11 classes.pdf · официални решения: TasksDecisions[SAmRAS_2013-2]_10-11 classes.pdf