Съдържание

Самара 2013, II кръг (задочен), 10–11 клас — Задача 8. Где-то на планете Земля...

Оригинал на условието (PDF)Съобщи за грешка

Всички материали от Самара 2013

Условия конкурсных задач олимпиады по астрономии SAMRAS-2013 среди учащихся 10-11 классов заочного тура № 2 · 7 т.

Условие

Условие. Астроном-любитель сделал фотографию ночного неба (см. рис. 3). В каком месте на поверхности Земли была сделана эта фотография? Оцените время экспозиции фотосъемки (время, в течение которого затвор фотоаппарата был открыт и велась съемка), если расстояние между колеями грунтовой дороги составляет 1.5 м и ее ближний край, представленный на фото, находится на расстоянии 8 метров от астронома. (7 баллов).

Ночная фотография с длинной выдержкой: дуги треков звезд вокруг полюса мира, расположенного у горизонта над горами; внизу грунтовая дорога среди холмов; в углу метка «BC». — Рис. 3.

Отговори

Решение

Дано: $\Delta r = 1.5$ м, $\ell = 8$ м,

Найти: $\tau_{exp}$ – ?

На фотографии видно множество треков, которые оставляют звезды в своем суточном движении, при съемки с неподвижной фотокамеры. Как известно, все звезды вращаются относительно полюса мира. Очевидно, что данная точка находится в непосредственной близости к математическому горизонту. Следовательно, высота полюса мира $h_P \approx 0^{\circ}$ .

Согласно теореме о связи географических и небесных координат, широта места наблюдения $\varphi = h_P \approx 0^{\circ}$ . Следовательно, данный снимок был сделан вблизи земного экватора.

Для определения времени экспозиции $\tau_{exp}$ , необходимо учесть, что угловая мера $\Delta\varphi$ дуги – трека звезды пропорциональна времени экспозиции:

\Delta\varphi = \omega_{\text{vis}} \cdot \tau_{exp}. \qquad (8)

где $\omega_{\text{vis}}$ – угловая скорость видимого движения звезды по небосводу. Последний параметр можно связать с угловой скоростью $\omega_{\oplus}$ вращения Земли и ее склонением $\delta$ (этот результат можно найти в курсах сферической астрономии разных авторов, а также в лекциях школы SamRAS-2012):

\omega_{\text{vis}} = \omega_{\oplus}\cos\delta, \ \ \text{где} \ \ \omega_{\oplus} = \frac{2\,\pi}{T_{\oplus}} = 15.041''/c, \qquad (9)

где $T_{\oplus} = 86164$ c – сидерический период вращения Земли. Из формул (8) и (9) следует, что время экспозиции есть

\tau_{\text{exp}} = \frac{\Delta\varphi}{\omega_{\oplus}\cos\delta}. \qquad (10)

Далее следует выполнить следующую процедуру для $N \geq 3$ звезд. Для $N$ околополюсных звезд (следует выбирать звезды как можно ближе к полюсу мира, в этом случае треки звезд все больше похожи на отрезки прямых, и в малой области фотографии угловой масштаб изображения меняется незначительно), треки которых отчетливо видны и представляют собой отрезки прямых, измеряем длины $\Delta\ell_i$ (выражены в мм) последних. Используя угловой масштаб фотографии $\mu$ (град/мм), который будет определен ниже, определяем дуги $\Delta\varphi_i$ :

\Delta\varphi_i = \mu \cdot \Delta\ell_i. \qquad (11)

Через центры треков проводим перпендикуляры к трекам в направлении полюса мира. Если все сделано правильно, то перпендикуляры должны пересечься в одной точке – полюсе мира. От данной точки мы измеряем линейные расстояния $\ell_{\delta}$ до треков (оснований перпендикуляров). И вычисляем полярные расстояния звезд $p$ , а затем и склонения:

p_i = \mu \cdot \ell_{\delta\,i}, \ \Rightarrow \ \delta_i = 90^{\circ} - p_i. \qquad (12)

В итоге с использованием формул (10)-(12) можно вычислить $N$ значений экспозиции $\tau_{\text{exp}\,i}$ и затем определить среднее значение искомой величины:

\bar{\tau}_{\text{exp}} = \frac{1}{N}\sum_{i=1}^{N}\tau_{\text{exp}\,i}. \qquad (13)

Для определения искомой величины необходимо предварительно определить угловой масштаб фотографии $\mu$ . Для этого воспользуемся данными о грунтовой дороги. Наблюдатель, видимо, находился прямо на дороге во время съемки, поэтому ближний край дороги находится на середине фотографии. Определим угол $d''_r$ под которым астроном видел колеи дороги (см. рис. 6).

Здесь $\Delta r = AC$ – расстояние между колеями дороги, в точке $O$ находится наблюдатель; расстояние $\ell = OB$ . Из прямоугольного $\triangle OAB$ следует, что

\operatorname{tg}\frac{d''_r}{2} = \frac{\Delta r/2}{\ell}, \ \Rightarrow \ d''_r = 2\operatorname{arctg}\left[\frac{\Delta r/2}{\ell}\right],

d''_r = 10.7^{\circ}. \qquad (14)

По картинке определяем линейное расстояние между колеями – $\ell_r = 25$ мм, тогда легко определить параметр $\mu$ :

\mu = \frac{d''_r}{\ell_r} = 0.43^{\circ}/\text{мм}. \qquad (15)

Все численные результаты представлены в таблице 1.

Схема: из точки O наблюдателя проведены лучи к точкам A и C концов отрезка (голубая полоса), B – середина отрезка; угол d″r при O, расстояние ℓ от O до отрезка, ширина Δr между A и C. — Рис. 6. К определению угла $d''_r$ .

Таблица 1

звезда №	1	2	3	4
$\Delta\ell$ , мм	4.5	5.0	4.0	4.5
$\Delta\varphi$ , град	1.93	2.14	1.71	1.93
$\ell_{\delta}$ , мм	33	39.5	31.5	35
$p$ , град	14.14	16.92	13.50	15.00
$\delta$ , град	75.86	73.08	76.50	75.00
$\tau_{\text{exp}}$ , мин	31.52	29.33	29.22	29.75
$\bar{\tau}_{\text{exp}} = 29.96$ мин $\approx 30$ мин

Ответ: данный снимок был сделан вблизи земного экватора; $\bar{\tau}_{\text{exp}} \approx 30$ мин. ( $\text{\textdollar}_{\max} = 7$ баллов).

Оригинал в Архива: Tasks[SAmRAS_2013-2]_10-11 classes.pdf · официални решения: TasksDecisions[SAmRAS_2013-2]_10-11 classes.pdf