Съдържание

Самара 2013, II кръг (задочен), 8–9 клас — Задача 12. Неупругое столкновение ядер комет

Оригинал на условието (PDF)Съобщи за грешка

Всички материали от Самара 2013

УСЛОВИЯ КОНКУРСНЫХ ЗАДАЧ ОЛИМПИАДЫ ПО АСТРОНОМИИ SAMRAS-2013 СРЕДИ УЧАЩИХСЯ 8-9 КЛАССОВ ЗАОЧНОГО ТУРА № 2 · 10 т.

Условие

Условие. Согласно современным представлениям на окраинах Солнечной системы существует гипотетическое облако ледяных тел – облако Оорта, являющееся источником долгопериодических комет. Общее количество кометных ядер в облаке может достигать нескольких триллионов, и потому возможны их столкновения. Ядра комет состоят преимущественно из водяного льда и имеют радиус, в среднем, больший 1.3 км. Предположим, что навстречу друг другу со скоростями, равными по величине $V$ , летят два одинаковых ледяных ядра. При каком наименьшем значении скорости $V$ они полностью испарятся в результате неупругого удара? Начальная температура льда $-265$ °C, удельная теплоемкость льда $c_1 = 2.1 \cdot 10^3$ Дж/(кг·°C), удельная теплоемкость воды $c_2 = 4.2 \cdot 10^3$ Дж/(кг·°C), удельная теплота плавления льда $\lambda = 334$ кДж/кг, удельная теплота парообразования для воды $q = 2.3$ МДж/кг. Потери энергии системы за счет излучения не учитывать (10 баллов).

Отговори

Решение

Дано: $\bar{R}_N \ge 1.3$ км, $T_0 = -265^{\circ}$ C, $c_1 = 2.1 \cdot 10^3$ Дж/(кг·°C), $c_2 = 4.2 \cdot 10^3$ Дж/(кг·°C), $\lambda = 334$ кДж/кг, $q = 2.3$ МДж/кг; Найти: $\bar{V}$ – ?

Согласно закону сохранения импульса, имеем

m\vec{V}_1 + m\vec{V}_2 = 0,\ \Rightarrow\ \vec{V}'_1 = \vec{V}'_2 = 0. \qquad (14)

Следовательно, вся кинетическая энергия данных ядер тратится на изменение их внутренней энергии:

2\frac{m\,V^2}{2} = \Delta U. \qquad (15)

Изменение внутренней энергии должно сопровождаться следующими процессами:

нагревом льда от температуры $T_0$ до температуры его плавления $T_1 = 0^{\circ}$ C, для чего требуется количество теплоты $Q_1$ :

Q_1 = 2m\,c_1(T_1 - T_0), \qquad (16)

плавлением льда при температуре $T_1 = 0^{\circ}$ C, для чего требуется количество теплоты $Q_2$ :

Q_2 = 2m\,\lambda, \qquad (17)

нагревом воды от температуры $T_1$ до температуры ее кипения $T_2 = 100^{\circ}$ C, для чего требуется количество теплоты $Q_3$ :

Q_3 = 2m\,c_2(T_2 - T_1), \qquad (18)

испарением воды при температуре $T_2 = 100^{\circ}$ C, для чего требуется количество теплоты $Q_4$ :

Q_4 = 2m\,q. \qquad (19)

Согласно закону сохранения энергии полное количество теплоты, переданное твердому телу тратится на изменение его внутренней энергии:

\Delta U = Q_1 + Q_2 + Q_3 + Q_4. \qquad (20)

Из выражений (15) и (20) следует, что

2\frac{m\,V^2}{2} = 2m\,c_1(T_1 - T_0) + 2m\,\lambda + 2m\,c_2(T_2 - T_1) + 2m\,q,

откуда следует, что минимальная скорость ядра кометы есть

\begin{aligned} V_{\min} &= \sqrt{2(c_1(T_1 - T_0) + \lambda + c_2(T_2 - T_1) + q)} = \\ &= \sqrt{2(5.57 \cdot 10^5 + 3.34 \cdot 10^5 + 4.20 \cdot 10^5 + 23.0 \cdot 10^5)\text{Дж/кг}} = 2.69\,\text{км/с}. \end{aligned} \qquad (21)

Т.о. если скорость каждого ядра кометы больше и равна $V_{\min}$ , то в результате абсолютно неупругого удара данные тела полностью испарятся.

Ответ: $V_{\min} = \sqrt{2(c_1(T_1 - T_0) + \lambda + c_2(T_2 - T_1) + q)} = 2.69$ км/с. ( $\text{\textdollar}_{\max} = 10$ баллов).

Оригинал в Архива: Tasks[SAmRAS_2013-2]_8-9 classes.pdf · официални решения: TasksDecisions[SAmRAS_2013-2]_8-9 classes.pdf