Самара 2013, II кръг (задочен), 8–9 клас — Задача 18. Последняя вспышка астероида

• Вспышку можно будет наблюдать невооруженным глазом лишь в окрестности элонгаций с m_min^(el) ≈ −1^m, m_max^(el) ≈ −4^m; в телескопы с большим увеличением и малым полем зрения возможно, в принципе, наблюдение вспышки вблизи соединений Меркурия с m_min ≈ 0^m, m_max ≈ −5^m.

Дано: $t_{\text{всп}} = 30$ с, $\chi = 0.50$.; Найти: $h_{\min}$, $h_{\max}$ – ?

Согласно условию задачи, в процессе падения выделилась количество теплоты $Q$, доля которого $\chi$ высветилась в окружающее пространство за время $t_{\text{всп}}$, следовательно, является разумным вычислить полный поток света (далее – светимость), излученного во время вспышки:

Высвеченная в космос энергия (в случае изотропного характера изучения, т.е. равноправного во всех направлениях) была излучена в полусферу (вторая полусфера затмевается телом Меркурия). Следовательно, освещенность, создаваемая вспышкой на расстоянии $\Delta$ от точки столкновения представляется в виде:

Здесь было учтено, что $2\pi\Delta^2$ – площадь полусферы радиуса $\Delta$. Как было уже сказано в решении задачи № 17, среднее расстояние от Солнца до Меркурия составляет $r_{\text{☿}} = 5.791 \cdot 10^7$ км, а до Земли – $r_{\oplus} = 1.4960 \cdot 10^8$ км. Следовательно, минимальное и максимальное расстояние Меркурия от Земли составляет:

Следовательно, теперь можно найти минимальную и максимальную освещенность, создаваемую вспышкой у поверхности Земли:

Как известно, звезда нулевой звездной величины ($0.0^m$, например, Вега) создает у поверхности Земли освещенность $E_0 = 2.48 \cdot 10^{-8}$ Вт/м$^2$ (см. например, книгу Коновича и Мороза "Курс общей астрономии"). Очевидно, что минимальная освещенность незначительно отличается от последнего значения, следовательно, можно заключить, что данную вспышку в любом случае, в принципе, смогут наблюдать земляне (невооруженным глазом, без учета яркого света Солнца). В самом "неблагоприятном" сценарии (Меркурий – вблизи верхнего соединения, в случае падения с минимальной относительной скоростью) вспышка астероида будет видна как звезда нулевой звездной величины; вблизи нижнего соединения освещенность $E_{\max}$ больше $E_0$ в 143 раза, следовательно, согласно правилу Погсона, звездная величина вспышки для землянина будет меньше чем $-5^m$, поскольку $\Delta m = -5^m$, соответствует $E_{\max}/E_0 = 100$. Однако, в силу близости положения Меркурия (в указанных конфигурациях) к Солнцу и многократного превосходства последнего в величине освещенности, увидеть в действительности вспышки невооруженным глазом невозможно, лишь в телескопы с большим увеличением и малым полем зрения (например, с $200^{\times}$ увеличением и $30'$ минутным полем зрения).

На самом деле, наилучшая видимость Меркурия достигается в окрестности восточной и западной элонгаций, где расстояние между планетами есть $\Delta_{el} = \sqrt{r^2_{\oplus} - r^2_{\text{☿}}} = 1.379 \cdot 10^8$ км. В этом случае минимальная и максимальная освещенность у поверхности Земли, создаваемую вспышкой, есть

Заметим, что $E^{(el)}_{\min}/E_0 = 1.9$, что ближе к числу 2.512 нежели к 1, тогда минимальная звездная величина вспышки $m^{(el)}_{\min} \approx -1^m$, $E^{(el)}_{\max}/E_0 = 62.9$, что ближе существенно к 40 нежели к 100, тогда $m^{(el)}_{\max} \approx -4^m$.

Ответ: Вспышку можно будет наблюдать невооруженным глазом лишь в окрестности элонгаций с $m^{(el)}_{\min} \approx -1^m$, $m^{(el)}_{\max} \approx -4^m$; в телескопы с большим увеличением и малым полем зрения возможно, в принципе, наблюдение вспышки вблизи соединений Меркурия с $m_{\min} \approx 0^m$, $m_{\max} \approx -5^m$. ($\text{\textdollar}_{\max} = 15$ баллов).