Самара 2013, II кръг (задочен), 8–9 клас — Задача 17. Падение астероида на Меркурий

• $V_{\text{rel}}^{\min} = 19.97\ \text{км/с},\quad V_{\text{rel}}^{\max} = 115.71\ \text{км/с};\quad Q_{\min} = 3.340 \cdot 10^{17}\ \text{Дж},\quad Q_{\max} = 1.121 \cdot 10^{19}\ \text{Дж}$

Дано: $R_a = 50$ м, $\rho_a = 4$ г/см$^3$. $\eta = 0.8$.; Найти: $h_{\min}$, $h_{\max}$ – ?

Согласно условию задачи, тело прилетает к Меркурию (Солнцу) с окраин нашей системы, двигаясь в гравитационных потенциальных полях Солнца и Меркрия. В силу закона сохранения энергии его потенциальная энергия гравитационного притяжения Солнцем и Меркурием по мере сближения с последним уменьшается, при этом увеличивается кинетическая энергия:

здесь $G = 6.673 \cdot 10^{-11}$ Н·м$^2$/кг$^2$ – гравитационная постоянная, $\mathfrak{M}_{\odot} = 1.989 \cdot 10^{30}$ кг – масса Солнца, $\mathfrak{M}_{\text{☿}} = 3.330 \cdot 10^{23}$ кг – масса Меркурия, $\mathfrak{R}_{\text{☿}} = 2439.7$ км – радиус Меркурия, $r_{\text{☿}} = 5.791 \cdot 10^7$ км – среднее расстояние Меркурия от Солнца (взяты из общих справочных астрономических данных); $r, \Delta$ – расстояния от астероида до Солнца и Меркурия, когда тело находилось на окраинах Солнечной системы (в реальности эти значения могут принимать значения $\sim 10^5$ а.е., но формально можно полагать, что $r, \Delta \to \infty$), $\mathfrak{M}_a$ – масса астероида (который по условию задачи есть шар), представляется в виде:

$V_{\text{hc}}$ – гелиоцентрическая (относительно Солнца) скорость астероида у поверхности Меркурия. Поскольку $r, \Delta \to \infty$, тогда

Для Меркурия, движущегося по круговой орбите, можем записать второй закон Ньютона:

здесь $\vec{r}_{\text{☿}}$ – радиус-вектор Меркурия, проведенный из центра Солнца, $\vec{a}_{\text{☿}}$ – его центростремительное ускорение. В таком движении Меркурий обладает центростремительным ускорением, равным $a_{\text{☿}} = V^2_{\text{☿}}/r_{\text{☿}}$, где $V_{\text{☿}}$ – орбитальная скорость движения Меркурия вокруг Солнца. Проецируя исходное уравнение на направление "Меркурий-Солнце", легко определить $V_{\text{☿}}$:

Скорость астероида относительно Меркурия можно представить в виде:

здесь $\alpha$ – угол между направлением движения Меркурия и вектором гелиоцентрической скорости тела. Из формулы (36) видно, что максимальное значение скорости достигается при $\alpha = \pi$, т.е. когда гелиоцентрическая скорости тела противоположна направлена по отношению к направлению движения планеты (метеороид встречает Меркурий с параболической скоростью со стороны апекса – точки на небе, указывающей направление движения Меркурия вокруг Солнца). Следовательно, $V_{\max} = V_{\text{hc}} + V_{\text{☿}} = 115.71$ км/с. Минимальное значение относительной скорости $V_{\min} = V_{\text{hc}} - V_{\text{☿}} = 19.97$ км/с.

Т.о., астероид может упасть на Меркурий с относительной скоростью, принадлежащей интевалу:

В момент падения его кинетическая энергия относительно Меркурия есть $\frac{1}{2}\mathfrak{M}_a\,V^2_{\text{rel}}$, следовательно количество выделившейся теплоты есть

С учетом (33), (37) и последнего результата имеем следующий интервал возможных значений количества теплоты:

Ответ: $V_{\text{rel}}^{\min} = 19.97$ км/с, $V_{\text{rel}}^{\max} = 115.71$ км/с; $Q_{\min} = 3.340 \cdot 10^{17}$ Дж, $Q_{\max} = 1.121 \cdot 10^{19}$ Дж. ($\text{\textdollar}_{\max} = 14$ баллов).