Съдържание

Условие Отговори Решение

Самара 2014, I кръг (задочен), 10–11 клас — Задача 12. Проблема глобального лунного телевидения

Оригинал на условието (PDF)Съобщи за грешка

Всички материали от Самара 2014

Условия конкурсных задач олимпиады по астрономии SAMRAS-2014 среди учащихся 10-11 классов заочного тура № 1 · 10 т.

Уровень А

Уровень «Новичок» (уровень А)

Уровень B

Уровень «Знаток» (уровень B)

Уровень C

Уровень «Профи» (уровень C)

Условие

Условие. Докажите, что у Луны не может быть стационарного спутника и, следовательно, глобальное лунное телевидение необходимо осуществлять иными способами, чем спутниковое телевидение на Земле. (10 баллов).

Отговори

Решение

Решение:

Вычислим селеноцентрическое расстояние до стационарного спутника Луны, предположив, что таковой возможен. Применяя третий закон Кеплера (уточненный), запишем:

\frac{(\mathfrak{M}_{☾} + m)}{(\mathfrak{M}_{\oplus} + \mathfrak{M}_{☾})} = \left(\frac{a_s}{a_{☾}}\right)^3\left(\frac{T_{☾}}{T_s}\right)^2,\ \Rightarrow\ \ a_s \approx a_{☾}\left(\frac{\mathfrak{M}_{☾}}{\mathfrak{M}_{\oplus}}\right)^{1/3} = 88842\,\mathrm{км}. \qquad (24)

где мы учли, что $m \ll \mathfrak{M}_{☾} \ll \mathfrak{M}_{\oplus}$ , $T_s = T_{☾} = P_{☾}$ – как известно, период обращения Луны вокруг собственной оси $P_{☾}$ равен сидерическому лунному месяцу $T_{☾}$ (синхронное вращение Луны).

Третье тело, которое может нарушить устойчивость системы "спутник-Луна" – это Земля. Запишем ускорения, которые сообщают Луна спутнику и Земля спутнику и Луне:

W_s^{(☾)} = \frac{G\,\mathfrak{M}_{☾}}{a_s^2},\ \ W_s^{(\oplus)} = \frac{G\,\mathfrak{M}_{\oplus}}{(a_{☾} - a_s)^2},\ \ W_{☾}^{(\oplus)} = \frac{G\,\mathfrak{M}_{\oplus}}{a_{☾}^2}. \qquad (25)

Из-за действия Земли на Луну и спутник, последний приобретает относительно Луны приливное ускорение, направленное от Луны:

W_{\mathrm{tid}} = W_s^{(\oplus)} - W_{☾}^{(\oplus)} = \frac{G\,\mathfrak{M}_{\oplus}}{(a_{☾} - a_s)^2} - \frac{G\,\mathfrak{M}_{\oplus}}{a_{☾}^2} = \frac{G\,\mathfrak{M}_{\oplus}}{a_{☾}^2}\left(\frac{a_{☾}^2}{(a_{☾} - a_s)^2} - 1\right). \qquad (26)

Движение спутника по селеноцентрической орбите будет стабильным, если $W_{\mathrm{tid}}/W_s^{(☾)} \ll 1$ . Определим отношение $W_{\mathrm{tid}}/W_s^{(☾)}$ :

\frac{W_{\mathrm{tid}}}{W_s^{(☾)}} = \frac{\mathfrak{M}_{\oplus}}{\mathfrak{M}_{☾}}\left(\frac{a_s^2}{(a_{☾} - a_s)^2} - \frac{a_s^2}{a_{☾}^2}\right) = 81\,(0.09 - 0.05) \approx 3. \qquad (27)

Условие стабильного характера движения спутника на селеноцентрической орбите не выполняется, следовательно, у Луны не может быть стационарного спутника. ( $\text{\textdollar}_{\max} = 10$ баллов).

Оригинал в Архива: Tasks[SAmRAS_2014-1]_10-11 classes.pdf · официални решения: TasksDecisions[SAmRAS_2014-1]_10-11 classes.pdf