Съдържание

Условие Отговори Решение

Самара 2014, I кръг (задочен), 10–11 клас — Задача 11. Ночной дайвинг и Вега

Оригинал на условието (PDF)Съобщи за грешка

Всички материали от Самара 2014

Условия конкурсных задач олимпиады по астрономии SAMRAS-2014 среди учащихся 10-11 классов заочного тура № 1 · 9 т.

Уровень А

Уровень «Новичок» (уровень А)

Уровень B

Уровень «Знаток» (уровень B)

Уровень C

Уровень «Профи» (уровень C)

Условие

Условие. Дайвер решил выполнить ночное погружение в воду, вдали от берега. В момент погружения звезда Вега оказалась точно в зените. Дайвер обнаружил, что, начиная с некоторой глубины $h_{\max}$ , звезда перестает быть видимой. Определите широту места погружения дайвера. Оцените также глубину $h_{\max}$ , учитывая феномен отражение света от поверхности воды (показатель преломления воды $n = 4/3$ ) и полагая, что его поглощение водой описывается законом Бугера-Ламберта ( $\kappa = 2.4\ \mathrm{м}^{-1}$ – бугеровский коэффициент поглощения света водой). Склонение Веги $\delta_V = +38^{\circ}47'$ , а видимая звездная величина $m_V = 0.03^m$ . (9 баллов).

Отговори

Решение

Дано: $n = 4/3$ , $\kappa = 2.4\ \mathrm{м}^{-1}$ ; $\delta_V = +38^{\circ}47'$ , $m_V = 0.03^m$ .

Найти: $\varphi$ – ? $h_{\max}$ – ?

Решение:

Воспользуемся формулой для высоты светила в верхней кульминации:

h_{\max} = 90^{\circ} - \varphi + \delta. \qquad (17)

Поскольку Вега находится в зените, то $h_{\max} = 90^{\circ}$ , тогда $\varphi = \delta = +38^{\circ}47'$ . Пусть интенсивность света, пришедшего от Веги и упавшего нормально на поверхность воды есть $\mathcal{I}_0$ . Часть света отразится от поверхности воды и его интенсивность будет $\mathcal{I}_{\mathrm{ref}}$ . Оставшаяся часть света (его интенсивность $\mathcal{I}_{\mathrm{int}}^{(0)}$ ) пройдет через границу "воздух-вода" не преломляясь (свет падает на воду нормально). Следовательно, можно записать:

\mathcal{I}_0 = \mathcal{I}_{\mathrm{ref}} + \mathcal{I}_{\mathrm{int}}^{(0)}. \qquad (18)

Интенсивность отраженного света $\mathcal{I}_{\mathrm{ref}}$ можно связать с интенсивностью $\mathcal{I}_0$ с помощью коэффициента отражения $\rho$ посредством выражения:

\frac{\mathcal{I}_{\mathrm{ref}}}{\mathcal{I}_0} = \rho. \qquad (19)

В случае нормального падения света, последний параметр может быть представлен выражением (см., например, ресурс http://physics.nad.ru/Physics/Cyrillic/rays_txt.htm):

\rho = \left(\frac{n-1}{n+1}\right)^2 = \left(\frac{1}{7}\right)^2 = 0.02. \qquad (20)

Интенсивность прошедшего света, по мере его распространения в воде, уменьшается согласно закону Бугера-Ламберта:

\mathcal{I}_{\mathrm{int}} = \mathcal{I}_{\mathrm{int}}^{(0)}\,e^{-\kappa\,\ell}. \qquad (21)

здесь $\ell$ – путь, пройденный светом в воде. Дайвер с нормальным зрением перестает видеть звезду на глубине $h_{\max}$ , если ее видимая звездная величина $m_{\max} \geq 6^m$ . Согласно формуле Погсона имеем

\frac{\mathcal{I}_{\mathrm{int}}}{\mathcal{I}_0} = 10^{-0.4(m_{\max} - m_V)},\ \ \text{иначе}\ \ \frac{\mathcal{I}_{\mathrm{int}}}{\mathcal{I}_0} = (1-\rho)e^{-\kappa\,h_{\max}}. \qquad (22)

В итоге имеем уравнение

10^{-0.4(m_{\max} - m_V)} = (1-\rho)e^{-\kappa\,h_{\max}},\ \Rightarrow\ \ -0.4(m_{\max} - m_V) = -\kappa\,h_{\max}\lg e + \lg(1-\rho),\ \Rightarrow

h_{\max} = \frac{0.4(m_{\max} - m_V) + \lg(1-\rho)}{\kappa\ \lg e} = \frac{0.4(6.00 - 0.03) + \lg(1 - 0.02)}{2.4\ \lg e} = 2.28\,\mathrm{м} \approx 2.3\,\mathrm{м}. \qquad (23)

Ответ: $\varphi = +38^{\circ}47'$ , $h_{\max} = (0.4(m_{\max} - m_V) + \lg(1-\rho))/(\kappa\ \lg e) \approx 2.3\,\mathrm{м}$ . ( $\text{\textdollar}_{\max} = 9$ баллов).

Оригинал в Архива: Tasks[SAmRAS_2014-1]_10-11 classes.pdf · официални решения: TasksDecisions[SAmRAS_2014-1]_10-11 classes.pdf