Съдържание

Условие Отговори Решение

Самара 2014, I кръг (задочен), 10–11 клас — Задача 14. О сближении летящей звезды Барнарда и Солнца

Оригинал на условието (PDF)Съобщи за грешка

Всички материали от Самара 2014

Условия конкурсных задач олимпиады по астрономии SAMRAS-2014 среди учащихся 10-11 классов заочного тура № 1 · 12 т.

Уровень А

Уровень «Новичок» (уровень А)

Уровень B

Уровень «Знаток» (уровень B)

Уровень C

Уровень «Профи» (уровень C)

Условие

Условие. Как известно "Летящая звезда Барнарда" обладает самым большим собственным движением (угловой скоростью перемещения по небесной сфере) среди известных звезд ( $\mu = 10.358''$ в год) и в настоящее время сближается с Солнцем. Определите момент времени, когда эта звезда пройдет на минимальном расстоянии от Солнца, если известно настоящее расстояние до звезды (5.96 св. лет) и ее радиальная (лучевая) скорость ( $-106.8$ км/с). Вычислите для этого момента ее тангенциальную и лучевую скорость, собственное движение, параллакс, расстояние (в св. г), видимую звездную величину (ее сегодняшнее значение – $m_V = 9.57^m$ ). Определите, будет ли видна звезда невооруженным глазом. (12 баллов).

Отговори

Решение

Дано: $\mu = 10.358''/\mathrm{год}$ , $V_r = -106.8$ км/с, $r = 5.96$ св. лет, $m_V = 9.57^m$ .

Найти: $t_0$ – ? $V'_{\tau}, V'_r, \mu'$ – ? $\pi', r', m'_V$ – ? Будет ли видна глазом?

Решение:

Участок траектории движения звезды Барнарда в силу малости гравитационного взаимодействия с соседними звездами (в том числе и Солнцем), согласно первому закону Ньютона есть прямая $B_1B_2$ . Сегодня данная звезда находится в точке $B_1$ (см. рис. 7). На минимальное расстояние звезда подойдет к Солнцу в точке $B_2$ . Момент времени прохождения данной точки, отсчитываемого от настоящего момента есть

t_0 = \frac{s}{V}.

Из рис. 7 очевидно, что

V = \sqrt{V_{\tau}^2 + V_r^2}, \qquad (29)

в свою очередь тангенциальная скорость представляется в виде:

V_{\tau} = \mu\,r = \frac{10.358''}{3.156 \cdot 10^7\ c} \times \frac{5.96 \times 9.46 \cdot 10^{12}\,\mathrm{км}}{206265''/\mathrm{рад}} = 89.8\,\mathrm{км/c}. \qquad (30)

Схема: звезда в точке B1 слева и в точке B2 справа на горизонтальной прямой длиной s; Солнце S внизу под B2; отрезок r из B1 к S и вертикальный отрезок r′ из B2 к S; в B1 вектор скорости V разложен на V_τ (перпендикулярно лучу) и V_r (вдоль r), угол α между V и r; в B2 вектор V=V_τ. — Рис. 7. К определению взаимного расположения Солнца и звезды Барнарда.

здесь учтено что 1 год $= 3.156 \cdot 10^7$ с, 1 рад $= 206265''$ , 1 св.г. $= 9.46 \cdot 10^{12}$ км. Тогда $V = 139.5$ км/c. Пройденный путь $s$ можно определить из прямоугольного треугольника $B_1B_2S$ :

s = r\,\cos\alpha = r\,(V_r/V) = 4.56\ \text{св. л.}

В тоге время $t_0 = 9798 \approx 9800$ лет.

В момент наибольшего сближения с Солнцем:

V'_{\tau} = V,\ \ V'_r = 0.

Расстояние до звезды есть

r' = r\sin\alpha = r\left(\frac{V_{\tau}}{V}\right) = 3.84\ \text{св.г.}

Собственное движение $\mu'$ :

\mu' = \frac{V'_{\tau}}{r'} = \frac{139.5\,\mathrm{км/год} \cdot 3.156 \cdot 10^7}{3.84 \times 9.46 \cdot 10^{12}\,\mathrm{км}} 206265''/\mathrm{рад} = 24.998''/\mathrm{год}.

Параллакс легко представить через $r'$ при условии, что последний выражен в пк:

\pi' = \frac{1}{r'} = \frac{3.26\ \text{св.г./пк}}{3.84\ \text{св.г.}} = 0.849''.

Воспользуемся формулой Погсона и законом обратных квадратов для определения звездной величины $m'$ :

m_V - m'_V = -2.512\lg\left(\frac{E}{E'}\right),\ \ \frac{E}{E'} = \frac{r'^2}{r^2},\ \Rightarrow

m'_V = m_V - 5\lg\left(\frac{r}{r'}\right) = 8.62^m. \qquad (31)

Данная звезда не будет видна невооруженным глазом.

Ответ: $t_0 \approx 9800$ лет, $V'_{\tau} = 139.5$ км/c, $V'_r = 0$ км/c, $\mu' = 24.998''/\mathrm{год}$ , $r' = 3.84$ св.г., $\pi' = 0.849''$ , $m'_V = 8.62^m$ ; данная звезда не будет видна невооруженным глазом. ( $\text{\textdollar}_{\max} = 12$ баллов).

Оригинал в Архива: Tasks[SAmRAS_2014-1]_10-11 classes.pdf · официални решения: TasksDecisions[SAmRAS_2014-1]_10-11 classes.pdf