Самара 2014, I кръг (задочен), 10–11 клас — Задача 15. Угловые масштабы петли попятного движения

• Угловые диаметры петель по Таблице 1 решения: Меркурий 13.91°, Венера 16.18°, Марс 15.97°, Юпитер 9.95°, Сатурн 6.76°, Уран 4.02°, Нептун 2.79°, Плутон 2.22°.

Условие. Как известно, все планеты Солнечной системы при наблюдении с Земли совершают как прямое так и попятное движение относительно звезд. Объясните причину попятного движения. Вычислите угловой диаметр петли попятного движения в случае 1) внутренней и 2) внешней планеты в приближении круговых орбит. Определите численные значения искомой величины для всех классических планет и Плутона. (13 баллов).

Решение:

Как известно, гелиоцентрическая угловая и линейная скорости планеты, движущейся по круговой орбите вокруг Солнца, определяются выражениями вида:

здесь $r_P$ – радиус орбиты планеты. Очевидно, что скорость нижних планет больше, а верхних – меньше скорости Земли $V_{\oplus}$ ($\omega_{\oplus}$). Суть объяснения прямых и попятных движений планет заключается в сопоставлении величин и направлений орбитальных линейных скоростей планет и Земли.

Рассмотрим ситуацию образования петли попятного движения в случае нижней планеты. Пусть в начальный момент времени нижняя планета находилась в нижнем соединении с Землей в точке B (при этом Земля находилась в точке C, см. рис. 8). Выберем декартову систему координат так как показано на рис. 8. Свет от планеты к Земле идет по отрезку PE, при этом планета проецируется в точку A на небесной сфере для земного наблюдателя. За время $t$ (поскольку $\omega_P > \omega_{\oplus}$) нижняя планета повернется относительно оси SX на угол $\varphi_P = \omega_P\,t > \varphi_E = \omega_{\oplus}\,t$. При этом луч АE повернется по часовой стрелке (с востока на запад), определяя видимое попятное движение планеты и отклоняясь от оси SX на угол $\alpha$. Однако, с увеличением $t$ нижняя планета все больше удаляется от Земли и в какой-то момент угол $\alpha$ начнет уменьшаться, при этом начнется прямое движение планеты. Т.о. максимальное значение угла $\alpha$ определяет половину углового диаметра петли попятного движения, т.е.

Определим угол $\alpha$. Для этого учтем, что его можно представить через скалярное произведение двух единичных векторов $-\vec{i}$, $\vec{n}$ (см. рис. 8):

Определим координаты планет в декартовых координатах и затем перейдем к полярным координатам:

Тогда координаты вектора $\overrightarrow{PE}$ есть

при этом единичный орт $\vec{n} = \overrightarrow{PE}/|\overrightarrow{PE}|$ или

В итоге $\cos\alpha$ представляется в виде:

Т.о. мы получили $\cos\alpha$ как функцию времени $t$. Очевидно, что если $\alpha = \alpha_{\max}$, то $\cos\alpha$ принимает минимальное значение. Следовательно, необходимо решить задачу на экстремум для данной функции. Вычислим производную $(\cos\alpha)'_t$ и приравняем ее к нулю:

Дробь равна нулю, если числитель равен нулю, а знаменатель при этом отличен. Числитель последней дроби, после алгебраических преобразований, можно представить в виде:

откуда следует, что

Второй корень должен $t_2^{(0)}$ удовлетворять трансцендентному уравнению вида:

Предварительное численное моделирование на примере Венеры дает нам значения $t_1^{(0)} = 21.03$ сут, $t_2^{(0)} = 42.93$ сут. На рис. 9 представлен график зависимости $d''(t)$. Из рисунка очевидно, что $t_1^{(0)}$ отвечает максимуму угла $2\alpha$, а корень $t_2^{(0)}$ минимуму. Т.о. окончательно имеем

В случае внешней планеты необходимо провести в результатах (37), (38) взаимную замену $r_P \leftrightarrow r_{\oplus}$, $\omega_P \leftrightarrow \omega_{\oplus}$. В таблице 1 представлены результаты расчетов для всех классических планет и Плутона. Здесь $2t_1^{(0)}$ определяет время попятного движения планеты.

Таблица 1

Основные результаты расчетов задачи.

($\text{\textdollar}_{\max} = 13$ баллов).