Самара 2014, I кръг (задочен), 10–11 клас — Задача 16. Мысленный эксперимент и светила земного небосвода

• На ночном небе будут видны только Луна и 4 планеты (Меркурий, Венера, Марс, Юпитер), а также иногда метеоры и яркие кометы вблизи Солнца и Земли; блеск — по Таблице 2 решения.

Решение:

При постоянной концентрации частиц пыли в единице объема ослабление света источника (в звездных величинах) пропорционально длине пути от источника света до наблюдателя. Это утверждение легко доказать, используя формулу Погсона и закон Бугера-Ламберта (см. задачу 11).

В случае наблюдения Луны источником света является Солнце. Расстояние между Землей и Луной пренебрежимо мало по сравнению с расстоянием от обоих тел до Солнца, поэтому длина пути, пройденного излучением, составляет 1 а.е., а поглощение света в Солнечной системе и окрестностях – $0.4^m$/а.е.

Для того, чтобы узнать, насколько изменился блеск других светил, нужно рассчитать длину пути света для каждого из них. В случае Солнца мы вновь имеем 1 а.е., и дневное светило ослабит блеск на $0.4^m$, оставаясь очень ярким ($26.3^m$). Визуально такое "потемнение" Солнца не было бы заметным, но оно вызвало бы существенные климатические изменения на Земле.

Блеск планет рассчитаем для случая их наибольшей элонгации (внутренние планеты) и противостояния (внешние планеты). Если обозначить радиус орбиты через $a$, то длина пути в первом и втором случаях составит

здесь $a_{\oplus} = 1$ а.е. – радиус орбиты Земли. Звездная величина светил станет равной

Здесь $m_0$ – блеск светила без ослабления пылью. Рассчитаем эти величины для ярких больших планет и запишем результаты в таблицу 2:

Таблица 2

Звездные величины тел Солнечной системы до и после попадания в пылевое облако.

Получается, что яркие планеты останутся видимыми на небе (за исключением Сатурна), но если Меркурий, Венера и Марс практически сохранят свой блеск, то Юпитер будет выглядеть заметно потускневшим, а Сатурн вообще перестанет быть видимым невооруженным глазом.

Очевидно, что более далекие планеты видны не будут, так как Уран даже при отсутствии пыли едва заметен глазом, а пыль ослабила бы его блеск более чем на 14 звездных величин. Не будет виден и ярчайший из астероидов Веста, блеск которого ослабнет на $2^m$. Но самое главное – с неба исчезнут все далекие звезды и объекты вне Солнечной системы, так как уже на расстоянии в 20 а.е. поглощение достигнет $8^m$, что достаточно для исчезновения ярчайшей звезды ночного неба Сириуса.

Получается, что таблица содержит все объекты, которые останутся видимыми в небе Земли (за исключением Сатурна). К ним могут присоединяться только метеоры и (изредка) яркие кометы, при условии, что они окажутся на небольшом расстоянии от Солнца и Земли. На темном и совершенно пустом ночном небе будут видны только Луна и 4 планеты, одна из которых будет неяркой.

Ответ: На темном и совершенно пустом ночном небе будут видны только Луна и 4 планеты (Меркурий, Венера, Марс, Юпитер). К ним могут присоединяться только метеоры и (изредка) яркие кометы, при условии, что они окажутся на небольшом расстоянии от Солнца и Земли. ($\text{\textdollar}_{\max} = 14$ баллов).