Съдържание

Условие Отговори Решение

Самара 2014, I кръг (задочен), 10–11 клас — Задача 17. Галактика M100 и сверхновая SN1979C

Оригинал на условието (PDF)Съобщи за грешка

Всички материали от Самара 2014

Условия конкурсных задач олимпиады по астрономии SAMRAS-2014 среди учащихся 10-11 классов заочного тура № 1 · 14 т.

Уровень А

Уровень «Новичок» (уровень А)

Уровень B

Уровень «Знаток» (уровень B)

Уровень C

Уровень «Профи» (уровень C)

Условие

Условие. Опираясь на данные наблюдений для галактики M100 и результаты расчетов задачи № 13, определите угловой и линейный масштабы фотографии, оцените расстояние от центра галактики до сверхновой. Полагая, что звезда находится на краю галактики, в ее диске и движется по орбите, близкой к круговой, оцените ее угловую (рад/год) и линейную скорость (км/c), период обращения (год) и ускорение свободного падения (м/c $^2$ ). Предполагается, что полная масса галактики составляет $\mathfrak{M}_G = 6 \cdot 10^{10} \cdot \mathfrak{M}_{\odot}$ . Полагая, что галактика на фотографии расположена "плашмя", а форма ее видимой границы близка к форме эллипса, оцените ее среднюю поверхностную массовую плотность (в массах Солнца на квадратный парсек). (14 баллов).

Отговори

Решение

Дано: $\mathfrak{M}_G = 6 \cdot 10^{10} \cdot \mathfrak{M}_{\odot}$ , $V_r = -106.8$ км/с, $r = 5.96$ св. лет, $m_V = 9.57^m$ .

Найти: $\mu, \mu''$ , $r_*$ , $\sigma$ – ? $\omega_*, V_*, T_*, a_*$ – ?

Решение:

Угловой масштаб фотографии ( $\mu''$ ) – параметр, определяемый отношением углового размера какого-либо объекта ( $a''$ , $b''$ ), представленного на фотографии к его линейному размеру ( $\ell_a$ , $\ell_b$ ), определяемому линейкой (или каким-либо другим измерительным прибором) по фотографии, т.е.

\mu''_1 = \frac{a''}{\ell_a} = \frac{7.4'}{140\,\mathrm{мм}} = 3.17''/\mathrm{мм},\ \ \mu''_2 = \frac{b''}{\ell_b} = \frac{6.3'}{120\,\mathrm{мм}} = 3.15''/\mathrm{мм}. \qquad (40)

здесь $\ell_a = 140$ мм, $\ell_a = 120$ мм – линейные размеры большой и малой оси соответственно, измеренные на стандартной распечатке страницы заданий с фотографией (ваш результат может несколько отличаться от указанного из-за различных форматов распечатки принтеров). В итоге

\mu'' = \frac{1}{2}\left(\mu''_1 + \mu''_2\right) = 3.16''/\mathrm{мм}.

Аналогично определяется линейный масштаб фотографии:

\mu_1 = \frac{a}{\ell_a} = \frac{1.18 \cdot 10^5\,\mathrm{св.лет}}{140\,\mathrm{мм}} = 843\ \mathrm{св.г./мм},\ \ \mu_2 = \frac{b}{\ell_b} = \frac{1.01 \cdot 10^5\,\mathrm{св.лет}}{120\,\mathrm{мм}} = 842\ \mathrm{св.г./мм}. \qquad (41)

\mu = \frac{1}{2}(\mu_1 + \mu_2) = 842\ \mathrm{св.г./мм}.

Далее по распечатке фотографии определяем расстояние от центра галактики до сверхновой – $\ell_* = 57$ мм, тогда расстояние в св.г. есть $r_* = \mu \cdot \ell_* = 47994$ св.г. Искомые кинематические параметры можно представить в виде (первый результат – следствие третьего закона Кеплера):

\omega_* = \frac{\sqrt{G \cdot \mathfrak{M}_G}}{{r_*}^{3/2}} = \frac{\sqrt{6.673 \cdot 10^{-11}\,\mathrm{Н{\cdot}м^2/кг^2} \cdot 6 \cdot 10^{10} \cdot 1.989 \cdot 10^{30}\mathrm{кг}}}{(47994 \cdot 9.46 \cdot 10^{15}\mathrm{м})^{3/2}} = 9.21 \cdot 10^{-9}\,\mathrm{рад/год}. \qquad (42)

T_* = \frac{2\pi}{\omega_*} = 6.83 \cdot 10^8\,\mathrm{лет}. \qquad (43)

V_* = \omega_* \cdot r_* = 47994 \cdot 9.46 \cdot 10^{12}\,\mathrm{км} \cdot \frac{9.21 \cdot 10^{-9}\,\mathrm{рад}}{3.156 \cdot 10^7\ c} = 132\ \mathrm{км/с}. \qquad (44)

a_* = \frac{V_*^2}{r_*} = 3.84 \cdot 10^{-11}\ \mathrm{м/c^2}. \qquad (45)

Средняя поверхностная массовая плотность галактики есть

\sigma = \frac{\mathfrak{M}_G}{S} = \frac{\mathfrak{M}_G}{\pi\,a\,b} = \frac{6 \cdot 10^{10}\,\mathfrak{M}_{\odot}}{\pi\,36196 \cdot 30982\,\mathrm{пк}^2} = 17.0\frac{\mathfrak{M}_{\odot}}{\mathrm{пк}^2} \qquad (46)

здесь мы учли, что площадь эллипса представляется в виде $S = \pi\,a\,b$ .

Ответ: $\mu'' = 3.16''/\mathrm{мм}$ , $\mu = 842$ св.г./мм, $\omega_* = \sqrt{G \cdot \mathfrak{M}_G}/{r_*}^{3/2} = 9.21 \cdot 10^{-9}\,\mathrm{рад/год}$ , $T_* = 6.83 \cdot 10^8\,\mathrm{лет}$ , $V_* = 132$ км/с, $a_* = V_*^2/r_* = 3.84 \cdot 10^{-11}$ м/c $^2$ , $\sigma = \mathfrak{M}_G/(\pi\,a\,b) = 17.0$ ( $\mathfrak{M}_{\odot}/\mathrm{пк}^2$ ). ( $\text{\textdollar}_{\max} = 14$ баллов).

Оригинал в Архива: Tasks[SAmRAS_2014-1]_10-11 classes.pdf · официални решения: TasksDecisions[SAmRAS_2014-1]_10-11 classes.pdf