Съдържание

Условие Отговори Решение

Самара 2014, I кръг (задочен), 10–11 клас — Задача 18. Энергия вспышки Новой Дельфина 2013

Оригинал на условието (PDF)Съобщи за грешка

Всички материали от Самара 2014

Условия конкурсных задач олимпиады по астрономии SAMRAS-2014 среди учащихся 10-11 классов заочного тура № 1 · 15 т.

Уровень А

Уровень «Новичок» (уровень А)

Уровень B

Уровень «Знаток» (уровень B)

Уровень C

Уровень «Профи» (уровень C)

Условие

Условие. Опираясь на данные наблюдений Новой Дельфина 2013, представленные в задачах № 7-8, и основные результаты этих задач, определите законы изменения светимости звезды ( $L_*(t)$ ) на интервалах времени (14-08-2013 года, $UT_0 = 00^h00^m$ ; 15-08-2013 года, $UT_1 = 00^h00^m$ ), (15-08-2013 года, $UT_1 = 00^h00^m$ ; 16-08-2013 года, $UT_2 =^h 00^m$ ), (16-08-2013 года, $UT_2 =^h 00^m$ ;окончание вспышки). Используя полученные зависимости, оцените полное количество энергии ( $E_{tot}$ ), которое излучила звезда за все время вспышки. Оцените

1) массу звездного вещества, которое было превращено в лучистую энергию во время вспышки и

2) время, которое потребовалось бы Солнцу, чтобы излучить энергию $E_{tot}$ . (15 баллов).

Отговори

Решение

Решение:

Прежде всего определим законы изменения блеска новой на первом и втором временном интервале. Согласно кривой блеска (см. рис. 5), данные зависимости являются линейными и могут быть записаны в виде:

m^{(1)}(t) = m_0 - v_m^{(1)}t,\ \ \text{где}\ \ v_m^{(1)} = \frac{m_0 - m_1}{1\,\mathrm{сут}} = 10.3^m/\mathrm{сут}, \qquad (47)

m^{(2)}(t) = m_1 - v_m^{(2)}t,\ \ \text{где}\ \ v_m^{(2)} = \frac{m_1 - m_2}{1.5\,\mathrm{сут}} = 1.667^m/\mathrm{сут}. \qquad (48)

Далее воспользуемся формулой Погсона для двух моментов времени:

\frac{L^{(1)}(t)}{L_{\min}} = \exp\left(-0.4(m^{(1)}(t) - m_0)\right),\ \Rightarrow\ \ L^{(1)}(t) = L_{\min}\exp\left(0.4\,v_m^{(1)}\,t\right), \qquad (49)

\frac{L^{(2)}(t)}{L_{\max}} = \exp\left(-0.4(m^{(2)}(t) - m_2)\right),\ \Rightarrow\ \ L^{(2)}(t) = L_{\max}\exp\left(0.4v_m^{(2)}t + 0.4(m_2 - m_1)\right), \qquad (50)

\frac{L^{(3)}(t)}{L_{\max}} = \exp\left(-0.4(m(t) - m_2)\right),\ \Rightarrow\ \ L^{(3)}(t) = L_{\max}\exp\left(-0.4\,v_m\,t\right), \qquad (51)

здесь $m(t)$ определяется выражением (12). Согласно определению светимости

L = \frac{dE}{dt},\ \Rightarrow\ \ dE = L \cdot dt.

Проинтегрируем последнее уравнение

\int_{E_1}^{E_2} dE = \int_{t_1}^{t_2} L(t)dt,\ \Rightarrow\ \ \Delta E = \int_{t_1}^{t_2} L(t)dt. \qquad (52)

здесь $\Delta E$ – количество энергии, излученное звездой на интервале $(t_1, t_2)$ . Следовательно, полную энергию, излученную звездой можно представить в виде:

E_{\mathrm{tot}} = \int_{t_0}^{t_1} L^{(1)}(t)dt + \int_{t_1}^{t_2} L^{(2)}(t)dt + \int_{t_2}^{t_f} L^{(3)}(t)dt. \qquad (53)

Вычислим каждый интеграл отдельно:

\int_{t_0}^{t_1} L^{(1)}(t)dt = L_{\min}\int_0^1 \exp\left(0.4\,v_m^{(1)}\,t\right)dt = \frac{L_{\min}}{0.4\,v_m^{(1)}}\left(\exp\left(0.4\,v_m^{(1)}\right) - 1\right) = 1.270 \cdot 10^6(c) \cdot L_{\min},

\int_{t_0}^{t_1} L^{(2)}(t)dt = L_{\max}\exp\left(0.4(m_2 - m_1)\right)\int_0^{1.5} \exp\left(0.4\,v_m^{(2)}\,t\right)dt = \frac{L_{\max}}{0.4\,v_m^{(2)}}\exp\left(0.4(m_2 - m_1)\right) \times

\times\left(\exp\left(0.6\,v_m^{(2)}\right) - 1\right) = 8.193 \cdot 10^4(c) \cdot L_{\max}.

\int_{t_2}^{t_f} L^{(3)}(t)dt = L_{\max}\int_0^{75.3} \exp\left(-0.4\,v_m\,t\right)dt = \frac{L_{\max}}{0.4\,v_m}\left(1 - \exp\left(-30.12\,v_m\right)\right) = 1.263 \cdot 10^6(c) \cdot L_{\max},

Т.о. полная энергия представляется в виде:

E_{\mathrm{tot}} = 1.270 \cdot 10^6(c) \cdot L_{\min} + 8.193 \cdot 10^4(c) \cdot L_{\max} + 1.263 \cdot 10^6(c) \cdot L_{\max} = \{9.67 \cdot 10^{37}, 2.43 \cdot 10^{38}\}\,\mathrm{Дж}.

Два значения полной энергии отвечают двум возможным расстояниям до звезды, представленным в задаче 8. Соответствующие значения массы определяются формулой Эйнштейна:

\mathfrak{M}_* = \frac{E_{\mathrm{tot}}}{c^2} = \{1.07 \cdot 10^{21}, 2.70 \cdot 10^{21}\}\,\mathrm{кг}. \qquad (54)

Полученные значения массы сопоставимы с массами крупных спутников планет Солнечной системы. Время, которое потребовалось бы Солнцу, чтобы излучить энергию $E_{tot}$ есть

t_{\odot} = \frac{E_{tot}}{L_{\odot}} = \{7966, 20019\}\,\mathrm{лет}. \qquad (55)

Ответ: $L^{(1)}(t) = L_{\min}\exp\left(0.4\,v_m^{(1)}\,t\right)$ , $L^{(2)}(t) = L_{\max}\exp\left(0.4v_m^{(2)}t + 0.4(m_2 - m_1)\right)$ , $L^{(3)}(t) = L_{\max}\exp\left(-0.4\,v_m\,t\right)$ , $E_{\mathrm{tot}} = \{9.67 \cdot 10^{37}, 2.43 \cdot 10^{38}\}\,\mathrm{Дж}$ , $\mathfrak{M}_* = \{1.07 \cdot 10^{21}, 2.70 \cdot 10^{21}\}\,\mathrm{кг}$ , $t_{\odot} = \{7966, 20019\}\,\mathrm{лет}$ . ( $\text{\textdollar}_{\max} = 15$ баллов).

Оригинал в Архива: Tasks[SAmRAS_2014-1]_10-11 classes.pdf · официални решения: TasksDecisions[SAmRAS_2014-1]_10-11 classes.pdf