Съдържание

Условие Отговори Решение

Самара 2014, I кръг (задочен), 8–9 клас — Задача 18. Притяжение астероида с полостью

Оригинал на условието (PDF)Съобщи за грешка

Всички материали от Самара 2014

Условия конкурсных задач олимпиады по астрономии SAMRAS-2014 среди учащихся 8-9 классов заочного тура № 1 · 15 т.

Уровень А

Уровень «Новичок» (уровень А)

Уровень B

Уровень «Знаток» (уровень B)

Уровень C

Уровень «Профи» (уровень C)

Условие

Условие. Имеется астероид (А), форма которого есть шар радиуса $R$ , с однородным распределением вещества c плотностью $\rho$ (см. рис. 3). Согласно данным радиолокации в теле астероида присутствует полость сферической формы, радиус которой $r < R$ . Космический аппарат (КА), прошедший над полостью на расстоянии $d$ от центра астероида смог измерить ускорение свободного падения $g$ , обусловленное полем тяготения этого астероида. Опираясь на полученные результаты, вычислите расстояние между геометрическими центрами астероида и полости. (15 баллов).

Серый круг — астероид A радиуса R с плотностью ρ; внутри белая сферическая полость радиуса r, центр которой смещен от центра астероида на a; справа на продолжении линии центров — красная точка КА на расстоянии d от центра астероида. — Рис. 3. К определению положения КА по отношению к астероиду на момент измерений.

Отговори

Решение

Повтор рис. 3 условия: серый круг — астероид A радиуса R с плотностью ρ, белая полость радиуса r со смещением центра a, красная точка КА на расстоянии d от центра астероида. — Рис. 10. К определению положения КА по отношению к астероиду на момент измерений.

Дано: $R$ , $r$ , $r < R$ ; $\rho$ , $g$ , $d$

Найти: $a$ – ?

Решение:

Если бы данный шар не имел полости, т.е. был однородным по всему объему, то на КА массы $m$ со стороны шара действовала бы сила притяжения $F_s$ :

F_s = \frac{G\,m\,\mathfrak{M}_1}{d^2}. \qquad (26)

здесь $\mathfrak{M}_1$ – масса всего шара. С другой стороны эту силу можно представить суммой сил притяжения (в данном случае сонаправленных), действующих со стороны 1) шара с полостью ( $F_1$ ) и 2) шара радиуса $r$ ( $F_2$ ), при условии, что КА находится над полостью:

F_s = F_1 + F_2, \ \Rightarrow\ F_1 = F_s - F_2, \ \text{где}\ F_2 = \frac{G\,m\,\mathfrak{M}_2}{(d - a)^2}. \qquad (27)

Массы большого и малого шаров можно представить в виде:

\mathfrak{M}_1 = \frac{4}{3}\pi R^3\,\rho, \ \mathfrak{M}_2 = \frac{4}{3}\pi r^3\,\rho. \qquad (28)

Сила, с которой шар с полостью притягивал КА можно представить иначе

F_1 = m\,g. \qquad (29)

Из результатов (26)-(29) следует уравнение вида:

m\,g = \frac{4}{3}\pi\,R^3\,\frac{G\,m\,\rho}{d^2} - \frac{4}{3}\pi\,r^3\,\frac{G\,m\,\rho}{(d - a)^2}, \ \Rightarrow\ g = \frac{4}{3}\pi\,G\,\rho\left(\frac{R^3}{d^2} - \frac{r^3}{(d - a)^2}\right),

\frac{r^3}{(d - a)^2} = \left(\frac{R^3}{d^2} - \frac{3\,g}{4\pi\,G\,\rho}\right), \ \Rightarrow\ a = d - \sqrt{r^3\left(\frac{R^3}{d^2} - \frac{3\,g}{4\pi\,G\,\rho}\right)^{-1}}. \qquad (30)

Ответ: $a = d - \sqrt{r^3\left(\frac{R^3}{d^2} - \frac{3\,g}{4\pi\,G\,\rho}\right)^{-1}}$ . ( $\text{\textdollar}_{\max} = 15$ баллов).

Оригинал в Архива: Tasks[SAmRAS_2014-1]_8-9 classes.pdf · официални решения: TasksDecisions[SAmRAS_2014-1]_8-9 classes.pdf