Съдържание

Условие Отговори Решение

Самара 2014, I кръг (задочен), 8–9 клас — Задача 17. Гора Стрельная и огни Ульяновска

Оригинал на условието (PDF)Съобщи за грешка

Всички материали от Самара 2014

Условия конкурсных задач олимпиады по астрономии SAMRAS-2014 среди учащихся 8-9 классов заочного тура № 1 · 14 т.

Уровень А

Уровень «Новичок» (уровень А)

Уровень B

Уровень «Знаток» (уровень B)

Уровень C

Уровень «Профи» (уровень C)

Условие

Условие. Во время экскурсии участников Самарской летней астрономической школы 2013 года на гору Стрельная (на рис. 2 указана черной точкой с числом "375"), находящуюся в Жигулевском заповеднике (на территории Самарской области), экскурсовод утверждал, что с вершины этой горы в ясные ночи можно увидеть огни уличных фонарей населенных пунктов Ульяновской области и даже города Ульяновска. Проверьте, прав ли был экскурсовод. Для решения поставленной задачи следует пользоваться картой Самарской области (см. рис. 2) и значением высоты горы – $H = 375$ м. Высоту фонарного столба следует принять равной $h = 8$ м. (14 баллов).

Физическая карта Самарской области с соседними областями (Ульяновская, Саратовская, Оренбургская, Татария) и Казахстаном: населенные пункты (Ульяновск, Тольятти, Самара, Сызрань, Белый Яр и др.), Куйбышевское и Саратовское водохранилища, Волга, отметка 375 у Жигулевска; внизу масштабная линейка 0–50–100 км и надпись «САМАРСКАЯ ОБЛАСТЬ». — Рис. 2. Карта Самарской области.

Отговори

Решение

Дано: $H = 375$ м, $h = 8$ м.

Найти: прав ли гид – ?

Решение:

Пусть точка А определяет положение вершины горы на поверхности Земли-шара, точка С – фонарь уличного столба (см. рис. 8). Для того чтобы наблюдатель мог видеть свет уличного фонаря, световой луч AC не должен "прокалывать" тело Земли. В предельном случае луч должен касаться Земли в точке B.

Чтобы ответить на вопрос задачи, необходимо определить расстояние между горой и фонарным столбом по поверхности Земли (дуга – $DE = \ell$ ), и сравнить с расстоянием до ближайшего населенного пункта Ульяновской области (Ульяновска).

Разрез Земли (голубой круг) с центром O и радиусом R: на поверхности в точке D — гора (зеленый треугольник) высотой H с вершиной A; касательная от A касается поверхности в точке B и приходит к вершине столба C высотой h над точкой E (оранжевый отрезок); углы α₁ (между OD и OB) и α₂ (между OB и OE) у центра. — Рис. 8. К определению условий задачи.

Очевидно, что длину дуги DE можно представить в виде:

\ell = R_{\oplus}\,(\alpha_1 + \alpha_2)\,. \qquad (21)

Рассмотрим прямоугольные треугольники $\triangle OAB$ , $\triangle OBC$ . Для их сторон можно записать следующие уравнения:

\cos\alpha_1 = \frac{R_{\oplus}}{R_{\oplus} + H}, \ \cos\alpha_2 = \frac{R_{\oplus}}{R_{\oplus} + h}. \qquad (22)

тогда синусы данных углов можно представить в виде:

\sin\alpha_1 = \sqrt{1 - \left(\frac{R_{\oplus}}{R_{\oplus} + H}\right)^2} \approx \sqrt{\frac{2H}{R_{\oplus}}}, \qquad (23)

\sin\alpha_2 = \sqrt{1 - \left(\frac{R_{\oplus}}{R_{\oplus} + h}\right)^2} \approx \sqrt{\frac{2h}{R_{\oplus}}}, \qquad (24)

здесь учтено, что $h, H \ll R_{\oplus} = 6371$ км; следовательно для синусов углов можно использовать приближение $\sin\alpha_i \approx \alpha_i$ . В итоге можем записать $\ell$ таким образом:

\ell \approx R_{\oplus}\left(\sqrt{\frac{2H}{R_{\oplus}}} + \sqrt{\frac{2h}{R_{\oplus}}}\right) = \sqrt{2\,R_{\oplus}h} + \sqrt{2\,R_{\oplus}H} = 79.22\,\text{км} \approx 80\,\text{км}. \qquad (25)

Повтор карты Самарской области из условия (рис. 2): населенные пункты, водохранилища, Волга, отметка 375 у Жигулевска, масштабная линейка 0–50–100 км. — Рис. 9. Карта Самарской области.

По карте определяем, что расстояние от вершины до ближайшей точки границы Ульяновской области составляет $r \approx 52\ \text{км} < 80\ \text{км}$ , если там располагается небольшой населенный пункт (неуказанный на карте) с уличным освещением, то экскурсовод прав. Ближайший объект Ульяновской области, обозначенный на карте – Белый яр (расстояние - 86.5 км), лежит в недосягаемой для прямой видимости зоне. Ульяновск лежит на расстоянии более 100 км от вершины Стрельной и, следовательно, его уличные фонари тоже не могут быть видны.

Ответ: экскурсовод прав в случае, если в окрестности ближайшей точки географической границы Ульяновской области ( $r \approx 52$ км) располагается небольшой населенный пункт (неуказанный на карте) с уличным освещением. Однако, ближайший объект Ульяновской области обозначенный на карте – Белый яр (расстояние - 86.5 км) и тем более Ульяновск лежат в недосягаемой для прямой видимости зоне. ( $\text{\textdollar}_{\max} = 14$ баллов).

Оригинал в Архива: Tasks[SAmRAS_2014-1]_8-9 classes.pdf · официални решения: TasksDecisions[SAmRAS_2014-1]_8-9 classes.pdf