Съдържание

Условие Отговори Решение

Самара 2014, I кръг (задочен), 8–9 клас — Задача 16. Сила притяжения Солнца в точках Лагранжа

Оригинал на условието (PDF)Съобщи за грешка

Всички материали от Самара 2014

Условия конкурсных задач олимпиады по астрономии SAMRAS-2014 среди учащихся 8-9 классов заочного тура № 1 · 13 т.

Уровень А

Уровень «Новичок» (уровень А)

Уровень B

Уровень «Знаток» (уровень B)

Уровень C

Уровень «Профи» (уровень C)

Условие

Условие. Оцените, на сколько процентов сила притяжения Солнца, действующая на пробное тело, находящееся в точке Лагранжа $L_1$ Земли, будет больше силы притяжения Солнца, действующей на тоже тело, находящееся в точке Лагранжа $L_2$ . Все необходимые численные данные возьмите из справочника по астрономии. (13 баллов).

Отговори

Решение

Решение:

Точки Лагранжа или точки либрации или L-точки – точки пространства в системе двух массивных тел (см. рис. 7, в нашем случае Солнца S и планеты P), в которых третье тело с пренебрежимо малой массой, на которое не действуют никакие другие силы, кроме гравитационных сил со стороны двух первых тел, может оставаться неподвижным относительно этих тел.

Окружность орбиты планеты с Солнцем S (желтая звезда) в центре и центром масс C рядом; на прямой S–P отмечены точки L₃ (слева на орбите), L₁ (перед планетой P), L₂ (за планетой); точки L₄ и L₅ на орбите образуют с S и P равносторонние треугольники, углы 60° у S. — Рис. 7. К определению точек положения Лагранжа.

Более точно точки Лагранжа представляют собой частный случай при решении т.н. ограниченной задачи трех тел – когда орбиты всех тел являются круговыми и масса одного из них намного меньше массы любого из двух других. В этом случае можно считать, что два массивных тела обращаются вокруг их общего центра масс (С) с постоянной угловой скоростью.

В пространстве вокруг них существуют пять точек, в которых третье тело с пренебрежимо малой массой может оставаться неподвижным во вращающейся системе отсчета, связанной с массивными телами. В этих точках гравитационные силы, действующие на малое тело, уравновешиваются центробежной силой.

Гелиоцентрические расстояния точек $L_1$ и $L_2$ представляются в виде (можно найти в справочнике по астрономии или в Wikipedia):

r_{L_1} = a_{\oplus}\left(1 - \sqrt[3]{\frac{\alpha}{3}}\right), \ r_{L_2} = a_{\oplus}\left(1 + \sqrt[3]{\frac{\alpha}{3}}\right), \ \alpha = \frac{\mathfrak{M}_{\oplus}}{\mathfrak{M}_{\odot} + \mathfrak{M}_{\oplus}}. \qquad (18)

Силы притяжения Солнца, действующая на пробное тело массы $m$ в точках $L_1$ и $L_2$ , есть

F_{L_1} = \frac{G\,m\,\mathfrak{M}_{\odot}}{r_{L_1}^2}, \ F_{L_2} = \frac{G\,m\,\mathfrak{M}_{\odot}}{r_{L_2}^2}, \ \Rightarrow\ \eta = \left(\frac{F_{L_1} - F_{L_2}}{F_{L_1}}\right) \times 100\% = \left(1 - \frac{r_{L_1}^2}{r_{L_2}^2}\right) \times 100\%. \qquad (19)

или

\eta = \left(1 - \frac{\left(1 - \sqrt[3]{\frac{\alpha}{3}}\right)^2}{\left(1 + \sqrt[3]{\frac{\alpha}{3}}\right)^2}\right) \times 100\% \approx 4\sqrt[3]{\frac{\alpha}{3}} \times 100\% = 4\sqrt[3]{\frac{1}{3}\left(\frac{\mathfrak{M}_{\oplus}}{\mathfrak{M}_{\odot} + \mathfrak{M}_{\oplus}}\right)} \times 100\% = 4.0\%. \qquad (20)

Ответ: $\eta = \left(\frac{F_{L_1} - F_{L_2}}{F_{L_1}}\right) \times 100\% = 4.0\%$ . ( $\text{\textdollar}_{\max} = 13$ баллов).

Оригинал в Архива: Tasks[SAmRAS_2014-1]_8-9 classes.pdf · официални решения: TasksDecisions[SAmRAS_2014-1]_8-9 classes.pdf