Съдържание

Условие Отговори Решение

Самара 2014, I кръг (задочен), 8–9 клас — Задача 15. Элементы орбиты кометы Хейла-Боппа

Оригинал на условието (PDF)Съобщи за грешка

Всички материали от Самара 2014

Условия конкурсных задач олимпиады по астрономии SAMRAS-2014 среди учащихся 8-9 классов заочного тура № 1 · 13 т.

Уровень А

Уровень «Новичок» (уровень А)

Уровень B

Уровень «Знаток» (уровень B)

Уровень C

Уровень «Профи» (уровень C)

Условие

Условие. Как правило, наиболее точные данные о движении кометы исследователи получают из наблюдений при прохождении последней через свой перигелий. Для этого как можно точнее измеряют перигелийное расстояние и скорость в перигелии. Например, перигелийное расстояние и скорость относительно Солнца кометы Хейла-Боппа, измеренные в момент прохождения ее через перигелий 1 апреля 1997 года, оказались равными: $q = 0.9180262$ а.е. $V_p = 43.876$ км/с. Такая точность в измерении $q$ и $V_p$ необходима, т.к. эксцентриситет впервые наблюдаемых комет очень близок к единице. Недостаточная точность в измерении $q$ и $V_p$ приводит к большим ошибкам при вычислении параметров движения. Учитывая это, вычислить большую полуось, эксцентриситет и афелийное расстояние орбиты, кометы Хейла-Боппа, а также период ее обращения вокруг Солнца. (13 баллов).

Отговори

Решение

Дано: $q = 0.9180262$ а.е., $V_p = 43.876$ км/с.

Найти: $a$ , $\varepsilon$ , $Q$ , $T$ – ?

Решение:

Воспользуемся формулой для скорости небесного тела относительно Солнца (ее можно получить из закона сохранения механической энергии и второго закона Ньютона при движении по круговой орбите):

V^2 = G\,\mathfrak{M}_{\odot}\left(\frac{2}{r} - \frac{1}{a}\right) = \frac{G\,\mathfrak{M}_{\odot}}{a_{\oplus}}\left(\frac{2a_{\oplus}}{r} - \frac{a_{\oplus}}{a}\right) = V_{\oplus}^2\left(\frac{2a_{\oplus}}{r} - \frac{a_{\oplus}}{a}\right), \ \Rightarrow

a = a_{\oplus}\left(\frac{2a_{\oplus}}{q} - \frac{V^2}{V_{\oplus}^2}\right)^{-1} = 1\,\text{а.е}\left(\frac{2}{0.9180262} - \left(\frac{43.876}{29.765}\right)^2\right)^{-1} = 176.2\,\text{а.е.} \qquad (16)

При вычислении большой полуоси было учтено, что $G = 6.673 \cdot 10^{-11}$ Н $\cdot$ м $^2$ /кг $^2$ – универсальная гравитационная постоянная, $\mathfrak{M}_{\odot} = 1.989 \cdot 10^{30}$ кг – масса Солнца, $V_{\oplus} = G\,\mathfrak{M}_{\odot}/a_{\oplus} = 29.765$ км/с – средняя скорость движения Земли по орбите вокруг Солнца.

Эксцентриситет орбиты представляется в виде:

\varepsilon = 1 - \frac{q}{a} = 0.994789.

Афелийное расстояние есть

Q = a(1 + \varepsilon) = 351.5\ \text{а.е.}

Наконец, воспользовавшись третьим законом Кеплера, находим период обращения

\frac{a^3}{a_{\oplus}^3} = \frac{T^2}{T_{\oplus}^2}, \ \Rightarrow\ T = T_{\oplus}\left(\frac{a}{a_{\oplus}}\right)^{3/2} = 2339\,\text{лет}. \qquad (17)

Ответ: $a = 176.2$ а.е., $\varepsilon = 0.994789$ , $Q = 351.5$ а.е., $T = 2339$ лет ( $\text{\textdollar}_{\max} = 13$ баллов).

Оригинал в Архива: Tasks[SAmRAS_2014-1]_8-9 classes.pdf · официални решения: TasksDecisions[SAmRAS_2014-1]_8-9 classes.pdf