Самара 2014, I кръг (задочен), 8–9 клас — Задача 6. Приводнение модуля и масса полезного груза

• 1794 кг

  $m_{\max} = \frac{4}{3}\pi\rho_0 R^3 - M$ при $\rho_0 = 1025$ кг/м$^3$.

Дано: $R = 1.0$ м, $M = 2.5$ т.

Найти: $m_{\max}$ – ?

Решение:

Условие плавания тел можно сформулировать в терминах силы тяжести $\vec{F}_{\text{Т}}$ и силы Архимеда $\vec{F}_{\text{А}}$:

В явном виде последнее неравенство можно представить как

здесь $\rho_0 = 1025$ кг/м$^3$ – массовая плотность морской воды (известный результат, его можно взять из справочника по физике), $V$ – объем модуля. По условию задачи модуль есть шар, объем которого представляется в виде (результат следует взять из справочника по математике, раздел "Стереометрия"):

В итоге максимальная масса полезного груза представляется в виде:

Ответ: $m_{\max} = \rho_0\,V - M = \frac{4}{3}\pi\,\rho_0\,R^3 - M = 1794$ кг. ($\text{\textdollar}_{\max} = 5$ баллов).