Съдържание

Условие Отговори Решение

Самара 2014, II кръг (задочен), 10–11 клас — Задача 18. Испарение ЧД Хокинга и минимальная масса реликтовой ЧД

Оригинал на условието (PDF)Съобщи за грешка

Всички материали от Самара 2014

Условия конкурсных задач олимпиады по астрономии SAMRAS-2014 среди учащихся 10-11 классов заочного тура № 2 · 15 т.

Уровень А

Уровень «Новичок» (уровень А)

Уровень B

Уровень «Знаток» (уровень B)

Уровень C

Уровень «Профи» (уровень C)

Условие

Условие. В 1974 году известный теоретик-астрофизик С. Хокинг, изучая поведение квантовых полей в окрестности черной дыры (ЧД), впервые обосновал существование квантового процесса испускания разнообразных элементарных частиц, преимущественно фотонов, черной дырой, получившего название излучение (испарение) Хокинга. Суть явления в следующем: гравитационное поле поляризует вакуум, в результате чего возможно образование не только виртуальных, но и реальных пар частица-античастица. Одна из частиц, оказавшаяся чуть ниже горизонта событий, падает внутрь черной дыры, а другая, оказавшаяся чуть выше горизонта, улетает, унося энергию (то есть часть массы) ЧД. Благодаря данному процессу ЧД непрерывно теряет массу и время ее жизни оказывается конечным. Мощность излучения черной дыры равна

P = \frac{\hbar\,c^6}{15360\,\pi\,G^2\,\mathfrak{M}_{BH}^2}, \qquad (1)

здесь и далее $\hbar = 1.055 \cdot 10^{-34}$ Дж·c – постоянная Планка, $G = 6.673 \cdot 10^{-11}$ Н·м $^2$ /кг $^2$ – гравитационная постоянная, $\mathfrak{M}_{BH}$ – масса черной дыры. Спектр хокинговского излучения оказался строго совпадающим с излучением абсолютно черного тела, что позволило приписать ЧД температуру:

T_{BH} = \frac{\hbar\,c^3}{8\,\pi\,k\,G\,\mathfrak{M}_{BH}}, \qquad (2)

где $k = 1.381 \cdot 10^{-23}$ Дж/K – постоянная Больцмана. С использованием данных результатов определите закон изменения массы ЧД с течением времени ( $\mathfrak{M}_{BH}(t)$ ). Определите выражение для времени жизни черной дыры ( $\tau_{\rm life}$ ). С использованием полученного результата и формулы (2) вычислите время жизни и температуру ЧД с массой $\mathfrak{M}_{BH} = \mathfrak{M}_{\odot}$ . Определите минимальную массу реликтовой ЧД (т.е. сохранившейся со времен Большого взрыва), ее радиус, среднюю плотность и температуру, если известно, что возраст Вселенной составляет 13.83 млрд. лет. (15 баллов).

Отговори

Решение

Решение:

Излучение Хокинга приводит к уменьшению полной энергии ( $E$ ) черной дыры, т.е.

P = -\frac{dE}{dt}.

C использованием формулы Эйнштейна

E = \mathfrak{M}_{BH}\,c^2, \qquad (37)

и результата (35) данное уравнение можно представить в виде:

\frac{\hbar\,c^6}{15360\,\pi\,G^2\,\mathfrak{M}_{BH}^2} = -c^2\,\frac{d\mathfrak{M}_{BH}}{dt},\ \Rightarrow\ \mathfrak{M}_{BH}^2\,d\mathfrak{M}_{BH} = -\frac{\hbar\,c^4}{15360\,\pi\,G^2}dt,

Пусть

K = \frac{\hbar\,c^4}{15360\,\pi\,G^2} = 3.966 \cdot 10^{15}\,\mathrm{кг}^3 \cdot c^{-1}, \qquad (38)

тогда дифференциальное уравнение представляется в виде:

\mathfrak{M}_{BH}^2\,d\mathfrak{M}_{BH} = -K\,dt

Проинтегрируем последнее уравнение по интервалу времени $(0, t)$ , где масса ЧД изменялась в интервале $(\mathfrak{M}_{BH}^{(0)}, \mathfrak{M}_{BH})$ .

\int_{\mathfrak{M}_{BH}^{(0)}}^{\mathfrak{M}_{BH}}\mathfrak{M}^2\,d\mathfrak{M} = -\int_0^t K\,dt',\ \Rightarrow\ \frac{1}{3}\left(\mathfrak{M}_{BH}^3 - \left(\mathfrak{M}_{BH}^{(0)}\right)^3\right) = -K\,t,\ \Rightarrow

\mathfrak{M}_{BH}(t) = \sqrt[3]{\left(\mathfrak{M}_{BH}^{(0)}\right)^3 - 3\,K\,t},\ \ \text{или}\ \ \mathfrak{M}_{BH}(t) = \mathfrak{M}_{BH}^{(0)}\sqrt[3]{1 - \alpha\,t},\ \ \text{где}\ \ \alpha = \frac{3\,K}{\left(\mathfrak{M}_{BH}^{(0)}\right)^3}. \qquad (39)

Время жизни ЧД определяется условием равенства нулю ее массы, т.е. $\mathfrak{M}_{BH}(\tau_{\rm life}) = 0$ . Следовательно, можно вычислить время жизни черной дыры:

\mathfrak{M}_{BH}^{(0)}\sqrt[3]{1 - \alpha\,\tau_{\rm life}} = 0,\ \Rightarrow\ \tau_{\rm life} = \frac{1}{\alpha} = \frac{\left(\mathfrak{M}_{BH}^{(0)}\right)^3}{3\,K} = \frac{5120\,\pi\,G^2\,\left(\mathfrak{M}_{BH}^{(0)}\right)^3}{\hbar\,c^4}. \qquad (40)

Для ЧД с массой $\mathfrak{M}_{BH} = \mathfrak{M}_{\odot}$ имеем

\tau_{\rm life}^{\odot} = \frac{5120\,\pi\,G^2\,\mathfrak{M}_{\odot}^3}{\hbar\,c^4} = 6.61 \cdot 10^{74}\,c = 2.10 \cdot 10^{67}\,\mathrm{лет}. \qquad (41)

T_{BH}^{\odot} = \frac{\hbar\,c^3}{8\,\pi\,k\,G\,\mathfrak{M}_{\odot}} = 6.17 \cdot 10^{-8}\,K. \qquad (42)

т.о. черная дыра с массой в одну солнечную живет гораздо дольше чем существуют наша Вселенная. При этом она является одним из холодных тел во Вселенной. С учетом полученных результатов удобно представить температуру и время жизни ЧД в приведенном виде:

T_{BH} = 6.17 \cdot 10^{-8}\,K \times \left(\frac{\mathfrak{M}_{\odot}}{\mathfrak{M}_{BH}}\right),\ \ \tau_{\rm life} = 2.10 \cdot 10^{67}\,\mathrm{лет} \times \left(\frac{\mathfrak{M}_{BH}}{\mathfrak{M}_{\odot}}\right)^3. \qquad (43)

Определим минимальную массу реликтовой ЧД (т.е. сохранившейся со времен Большого взрыва)из условия: время жизни такой дыры не может быть меньше чем возраст Вселенной – 13.83 млрд. лет, т.е.

2.10 \cdot 10^{67}\,\mathrm{лет} \times \left(\frac{\mathfrak{M}_{BH}^{\min}}{\mathfrak{M}_{\odot}}\right)^3 = 1.383 \cdot 10^{10}\,\mathrm{лет},\ \Rightarrow

\mathfrak{M}_{BH}^{\min} = \mathfrak{M}_{\odot}\sqrt[3]{\frac{1.383 \cdot 10^{10}}{2.10 \cdot 10^{67}}} = 8.70 \cdot 10^{-20}\,\mathfrak{M}_{\odot} = 1.730 \cdot 10^{11}\ \mathrm{кг}. \qquad (44)

C использованием выражений (15), (17), (44) мы можем вычислить радиус Шварцшильда, среднюю массовую плотность и температуру ЧД:

\mathfrak{R}_{BH} = \frac{2\,G\,\mathfrak{M}_{BH}^{\min}}{c^2} = 2.57 \cdot 10^{-16}\,\mathrm{м}. \qquad (45)

\bar{\rho}_{BH} = \frac{\mathfrak{M}_{BH}^{\min}}{\frac{4}{3}\,\pi\,\mathfrak{R}_{BH}^3} = 2.43 \cdot 10^{57}\,\mathrm{кг/м^3}. \qquad (46)

T_{BH} = 6.17 \cdot 10^{-8}\,K \times \left(\frac{\mathfrak{M}_{\odot}}{\mathfrak{M}_{BH}^{\min}}\right) = 7.09 \cdot 10^{11}\,K. \qquad (47)

Следует отметить, что по мере уменьшения массы ЧД интенсивность ее испарения нарастает лавинообразно, и заключительный этап эволюции носит характер взрыва, например, ЧД массой $10^3$ тонн испарится за время порядка 84 секунды, выделив энергию, равную взрыву примерно десяти миллионов атомных бомб средней мощности.

В то же время, большие ЧД, температура которых ниже температуры реликтового излучения Вселенной (2.7 К), на современном этапе развития Вселенной могут только расти, так как испускаемое ими излучение имеет меньшую энергию, чем поглощаемое. Данный процесс продлится до тех пор, пока фотонный газ реликтового излучения не остынет в результате расширения Вселенной.

Ответ: $\mathfrak{M}_{BH}(t) = \mathfrak{M}_{BH}^{(0)}\sqrt[3]{1 - \alpha\,t}$ , где $\alpha = \frac{3\,K}{\left(\mathfrak{M}_{BH}^{(0)}\right)^3}$ , $\tau_{\rm life} = \frac{5120\,\pi\,G^2\left(\mathfrak{M}_{BH}^{(0)}\right)^3}{\hbar\,c^4}$ ; $\tau_{\rm life}^{\odot} = \frac{5120\,\pi\,G^2\,\mathfrak{M}_{\odot}^3}{\hbar\,c^4} = 2.10 \cdot 10^{67}$ лет, $T_{BH}^{\odot} = \frac{\hbar\,c^3}{8\,\pi\,k\,G\,\mathfrak{M}_{\odot}} = 6.17 \cdot 10^{-8}\,K$ ; $\mathfrak{M}_{BH}^{\min} = 8.70 \cdot 10^{-20}\,\mathfrak{M}_{\odot} = 1.730 \cdot 10^{11}$ кг, $\mathfrak{R}_{BH} = \frac{2\,G\,\mathfrak{M}_{BH}^{\min}}{c^2} = 2.57 \cdot 10^{-16}$ м, $\bar{\rho}_{BH} = \frac{\mathfrak{M}_{BH}^{\min}}{\frac{4}{3}\,\pi\,\mathfrak{R}_{BH}^3} = 2.43 \cdot 10^{57}\,\mathrm{кг/м^3}$ , $T_{BH} = 6.17 \cdot 10^{-8}\,K \times \left(\frac{\mathfrak{M}_{\odot}}{\mathfrak{M}_{BH}^{\min}}\right) = 7.09 \cdot 10^{11}\,K$ . ( $\text{\textdollar}_{\max} = 15$ баллов).

Оригинал в Архива: Tasks[SAmRAS_2014-2]_10-11 classes.pdf · официални решения: TasksDecisions[SAmRAS_2014-2]_10-11 classes.pdf