Съдържание

Условие Отговори Решение

Самара 2014, II кръг (задочен), 10–11 клас — Задача 17. Давление света и критический радиус пылевой частицы

Оригинал на условието (PDF)Съобщи за грешка

Всички материали от Самара 2014

Условия конкурсных задач олимпиады по астрономии SAMRAS-2014 среди учащихся 10-11 классов заочного тура № 2 · 14 т.

Уровень А

Уровень «Новичок» (уровень А)

Уровень B

Уровень «Знаток» (уровень B)

Уровень C

Уровень «Профи» (уровень C)

Условие

Условие. Из многочисленных наблюдений за движением хвостов комет, установлено, что в движении пылевых частиц, составляющих эти хвосты, существенную роль играет давление солнечного света (точнее сказать, давление электромагнитного излучения Солнца). Чем меньше размер частиц, тем бо́льшую роль играет данный фактор в ее движении. Опираясь на квантовые представления о свете и моделируя пылевую частицу абсолютно черным шаром радиуса $R_P$ , определите явное выражение для силы давления $F_p$ света. Докажите, что для этой силы справедлива зависимость вида $F_p \sim R_P^2$ . Оцените критический радиус пылевой частицы c массовой плотностью $\rho_P = 10^3$ кг/м $^3$ , при котором сила давления становится больше силы притяжения Солнца и как следствие, частица покидает Солнечную систему. (14 баллов).

Отговори

Решение

Решение:

Определим явное выражение для силы давления $F_p$ света. Согласно второму и третьему законам Ньютона, сила давления, действующая на неподвижную частицу со стороны падающего излучения, определяется выражением:

\vec{F}_p = -\frac{\Delta\vec{P}}{\Delta t}, \qquad (28)

где $\Delta\vec{P}$ – изменение импульса потока электромагнитного излучения (света), падающего на частицу за время $\Delta t$ .

Согласно квантовой теории излучения, свет – это поток элементарных частиц – фотонов, импульс которых определяется выражением вида:

p_f = \frac{E_f}{c}, \qquad (29)

где $E_f$ – энергия фотона, $c$ – скорость света в вакууме.

Согласно условию задачи, частица является абсолютно черным телом – телом, которое полностью поглощает любое падающее на его поверхность электромагнитное излучение, независимо от температуры этого тела. Тогда всякий фотон, падающий на поверхность частицы поглощается, при этом изменение его импульса есть

\Delta\vec{p}_f = 0 - p_f\,\vec{k} = -p_f\,\vec{k}.

где $\vec{k}$ – единичный вектор, определяющий направление распространения фотонов.

Все фотоны движутся в направлении от Солнца по параллельным прямым, тогда число фотонов $\Delta N$ , падающих за единицу времени ( $\Delta t$ ) на единичную площадку ( $\Delta S$ ), перпендикулярную направлению движения фотонов, поглощаются последней и терпят изменение импульса, равное

\Delta\vec{P} = \Delta\vec{p}_f \cdot \Delta N = \Delta\vec{p}_f \cdot n \cdot \Delta V = -p_f \cdot n \cdot \Delta S \cdot c \cdot \Delta t \cdot \vec{k}.

здесь $n$ – объемная концентрация фотонов. Следовательно, силу давления для неподвижной частицы, согласно (28) и последнему выражению, можно представить в виде:

\vec{F}_p = E_f \cdot n \cdot \Delta S \cdot \vec{k}. \qquad (30)

Далее учтем, что произведение энергии одного фотона на концентрацию фотонов есть

E_f \cdot n = \frac{E_f\,\Delta N}{\Delta V} = \frac{\Delta W}{\Delta V} = \frac{1}{c}\left(\frac{\Delta W}{\Delta S \cdot \Delta t}\right) = \frac{1}{c}E,

здесь использовано определение освещенности:

E = \left(\frac{\Delta W}{\Delta S \cdot \Delta t}\right),

где $W$ – энергия, переносимая светом, через площадку $\Delta S$ за время $\Delta t$ .

С учетом последнего выражения, сила давления (30) представляется в виде:

\vec{F}_p = \frac{1}{c}\,E\,S_P\,\vec{k} = \frac{1}{c}\,E\,\pi R_P^2\,\vec{k}. \qquad (31)

C использованием закона сохранения энергии освещенность $E$ можно определить через светимость Солнца ( $L_{\odot}$ ):

E = \frac{L_{\odot}}{4\pi \cdot r^2}. \qquad (32)

Т.о. указанная сила для сферической частицы радиуса $R_P$ представляется так

F_p = \frac{\alpha_p}{r^2},\ \ \text{где}\ \ \alpha_p = \frac{R_P^2\,L_{\odot}}{4\,c}. \qquad (33)

Из последнего результата очевидно, что $F_p \sim R_P^2$ . Следует отметить, что результат (33) часто использует для оценки силы светового давления в астрофизике. Однако, данное выражение справедливо только в том случае, если сферическая частица моделируется абсолютно черным телом.

Оценим критический радиус пылевой частицы из условия равенства силы давления и силы притяжения Солнца:

F_p = F_G,\ \ \text{где}\ \ F_G = \frac{\alpha_G}{r^2},\ \ \alpha_G = G\,m_P\,\mathfrak{M}_{\odot}\ \Rightarrow

и учитывая что масса частицы представляется в виде:

m_P = \frac{4}{3}\pi R_P^3\rho_P.

В результате получаем уравнение вида

\frac{\alpha_p}{r^2} = \frac{\alpha_G}{r^2},\ \Rightarrow\ \alpha_p = \alpha_G,\ \Rightarrow\ \frac{R_P^2\,L_{\odot}}{4\,c} = \frac{4}{3}\pi\,G\,R_P^3\,\rho_P\,\mathfrak{M}_{\odot},\ \Rightarrow

R_P^{(c)} = \frac{3\,L_{\odot}}{16\,\pi\,c\,G\,\rho_P\,\mathfrak{M}_{\odot}} = 5.7 \cdot 10^{-7}\,\mathrm{м}. \qquad (34)

Ответ: $F_p = \frac{\alpha_p}{r^2}$ , где $\alpha_p = \frac{R_P^2\,L_{\odot}}{4\,c}$ ; $R_P^{(c)} = \frac{3\,L_{\odot}}{16\,\pi\,c\,G\,\rho_P\,\mathfrak{M}_{\odot}} = 5.7 \cdot 10^{-7}$ м. ( $\text{\textdollar}_{\max} = 14$ баллов).

Оригинал в Архива: Tasks[SAmRAS_2014-2]_10-11 classes.pdf · официални решения: TasksDecisions[SAmRAS_2014-2]_10-11 classes.pdf