Самара 2014, II кръг (задочен), 10–11 клас — Задача 16. Давление в центре Земли

• $p(r) = \frac{3}{8\pi}\frac{G\mathfrak{M}^2}{\mathfrak{R}^4}\left(1 - \frac{r^2}{\mathfrak{R}^2}\right),\quad p_c = \frac{3}{8\pi}\frac{G\mathfrak{M}^2}{\mathfrak{R}^4},\quad p_c^{(\oplus)} = 1.724 \cdot 10^{11}\ \mathrm{Па}$

Дано: $\mathfrak{M}$, $\mathfrak{R}$.

Найти: $p(r)$, $p_c$ – ?

Решение:

Рассмотрим тонкий сферический слой вещества в теле планеты толщиной $\Delta r$, находящийся на расстоянии $r$ от центра планеты. В данном слое рассмотрим малый элемент массы $\Delta m$ (см. рис. 6). Поскольку последний находится в состоянии относительного покоя, то, согласно второму закону Ньютона, сумма всех сил, приложенная к нему должна быть равна нулю:

где $\vec{F}_{p\,1}$, $\vec{F}_{p\,2}$ – силы давления, действующие на данный элемент со стороны ниже и выше лежащих слоев вещества (см. рис. 6). Спроецируем данное уравнение на вертикальную ось $OX$.

Учтем, что силы давления и тяжести можно представить в виде:

где $p$ – давление газа на расстоянии $r$, $p + \Delta p$ – давление газа на расстоянии $r + \Delta r$; $S$ – площадь оснований элемента, $\rho$ – массовая плотность планеты, $g(r)$ – ускорение свободного падения на расстоянии $r$ от центра планеты. Подставляя полученные выражения в уравнение (22) в итоге получаем:

Ускорение свободного падения найдем из равенства силы тяжести и силы притяжения на поверхности шара радиуса $r$:

здесь $M(r)$ – масса части планеты – шара радиуса $r$. Следовательно, разность величин давления на нижнем и на верхнем основании элемента есть

Пусть $r = r_1$, $p_1 = p(r_1)$, $r_2 = r + \Delta r$, $p_2 = p(r_2)$, тогда

Тогда уравнение (24) можно представить в виде:

Очевидно, что последний результат никак не связан с малостью элемента и потому справедлив для любых двух точек тела планеты. Выберем в качестве точки 1 точку поверхности планеты, где $p_1 = 0, r_1 = \mathfrak{R}$ а в качестве точки 2 – произвольную внутреннюю точку планеты – $r_2 = r$, тогда

Теперь легко определить давление в центре планеты

В случае Земли – $\mathfrak{M} = \mathfrak{M}_{\oplus} = 5.973 \cdot 10^{24}$ кг, $\mathfrak{R} = \mathfrak{R}_{\oplus} = 6.371 \cdot 10^6$ м. Тогда согласно (26), давление в центре Земли есть

Ответ: $p(r) = \frac{3}{8\,\pi}\left(\frac{G\,\mathfrak{M}^2}{\mathfrak{R}^4}\right)\left(1 - \frac{r^2}{\mathfrak{R}^2}\right)$, $p_c = \frac{3}{8\,\pi}\left(\frac{G\,\mathfrak{M}^2}{\mathfrak{R}^4}\right)$; $p_c^{(\oplus)} = \frac{3}{8\,\pi}\left(\frac{G\,\mathfrak{M}_{\oplus}^2}{\mathfrak{R}_{\oplus}^4}\right) = 1.724 \cdot 10^{11}$ Па. ($\text{\textdollar}_{\max} = 13$ баллов).