Съдържание

Условие Отговори Решение

Самара 2014, II кръг (задочен), 10–11 клас — Задача 15. Кометная гипотеза происхождения колец Сатурна

Оригинал на условието (PDF)Съобщи за грешка

Всички материали от Самара 2014

Условия конкурсных задач олимпиады по астрономии SAMRAS-2014 среди учащихся 10-11 классов заочного тура № 2 · 13 т.

Уровень А

Уровень «Новичок» (уровень А)

Уровень B

Уровень «Знаток» (уровень B)

Уровень C

Уровень «Профи» (уровень C)

Условие

Условие. Согласно современным представлениям, кольца Сатурна – система плоских концентрических образований (скоплений) льда и пыли, располагающаяся в экваториальной плоскости Сатурна. Исследования колец показали, что последние состоят, главным образом, из водяного льда (около 99%) с примесями силикатной пыли. Внутренняя граница колец лежит на расстоянии $6.7 \cdot 10^4$ км от центра планеты, а внешняя – $1.368 \cdot 10^5$ км (при этом радиус Сатурна – $\mathfrak{R}_{♄} = 6.027 \cdot 10^4$ км, а средняя массовая плотность – $\bar{\rho}_{♄} = 687$ кг/м $^3$ ). При этом толщина колец чрезвычайно мала – от 10 м до 1 км. Общая масса обломочного материала колец оценивается в $3 \cdot 10^{19}$ кг. Возраст колец не более 100 млн. лет. Одна из гипотез происхождения колец гласит – в прошлом Сатурн захватил своим полем тяготения и разрушил приливными силами пролетающую мимо комету гигантских размеров. Опираясь на представления о плотности комет и о полости Роша, допуская существование гигантских комет и предполагая, что разрушение произошло в пределах области, занимаемой сегодня кольцами, докажите что такой сценарий в принципе возможен. Оцените минимальные возможные размеры этой гигантской кометы. (13 баллов).

Отговори

Решение

Решение:

Пусть комета изначально имела среднюю массовую плотность $\bar{\rho}_c$ . Комета при прохождении вблизи Сатурна может быть разрушена приливными силами, если минимальное расстояние $r_{\min}$ между кометой и Сатурном в процессе сближения будет больше чем радиус ее полости Роша. Последний определяется выражением:

r_{\min} \le R_{\rm Roche} = \mathfrak{R}_{♄}\,2^{1/3}\sqrt[3]{\frac{\rho_{♄}}{\bar{\rho}_c}}.

Дано: $\mathfrak{R}_{\min}^{(r)} = 6.7 \cdot 10^4$ км, $\mathfrak{R}_{\max}^{(r)} = 1.368 \cdot 10^5$ км, $\mathfrak{R}_{♄} = 6.027 \cdot 10^4$ км, $\bar{\rho}_{♄} = 687$ кг/м $^3$ , $\mathfrak{M}^{(r)} = 3 \cdot 10^{19}$ кг

Найти: док-ть приемлемость гипотезы, $\mathfrak{R}_{c\,\min}$ – ?

Решение:

Согласно условию задачи, разрушение кометы произошло в пределах области, занимаемой сегодня кольцами, тогда

\mathfrak{R}_{\min}^{(r)} \le r_{\min} \le \mathfrak{R}_{\max}^{(r)},\ \Rightarrow\ \mathfrak{R}_{\min}^{(r)} \le R_{\rm Roche} \le \mathfrak{R}_{\max}^{(r)}.

Из последнего двойного неравенства мы получаем ограничения для средней массовой плотности гигантской кометы:

2\bar{\rho}_{♄}\left(\frac{\mathfrak{R}_{♄}}{\mathfrak{R}_{\max}^{(r)}}\right)^3 \le \bar{\rho}_c \le 2\bar{\rho}_{♄}\left(\frac{\mathfrak{R}_{♄}}{\mathfrak{R}_{\min}^{(r)}}\right)^3,\ \Rightarrow\ 117\,\mathrm{кг/м^3} \le \bar{\rho}_c \le 1000\,\mathrm{кг/м^3}.

Последний интервал возможных значений для средней массовой плотности ядра кометы уверенно согласуется с известными оценками искомой величины, например, массовая плотность кометы 1P/Галлея оценивается интервалом возможных значений $200 \div 1500$ кг/м $^3$ . Кроме того, большинство комет, главным образом, состоят из водяного льда, что также говорит в пользу кометной гипотезы происхождения колец.

Оценим минимальный возможный радиус ядра такой кометы. Поскольку масса ядра есть

\mathfrak{M}_c = \frac{4}{3}\,\pi\,\bar{\rho}_c\,\mathfrak{R}_c^3,\ \Rightarrow\ \mathfrak{R}_c = \sqrt[3]{\frac{3}{4\,\pi}\,\frac{\mathfrak{M}_c}{\bar{\rho}_c}}.

Очевидно, что масса ядра кометы не может быть меньше массы колец (часть кометы может быть поглощена Сатурном), т.е. $\mathfrak{M}_c \ge \mathfrak{M}^{(r)}$ следовательно,

\mathfrak{R}_{c\,\min} = \sqrt[3]{\frac{3}{4\,\pi}\,\frac{\mathfrak{M}_r}{\bar{\rho}_c}},\ \Rightarrow\ 197\,\mathrm{км} \le \mathfrak{R}_{c\,\min} \le 394\,\mathrm{км}.

Главным контраргументом настоящей гипотезы является ненаблюдаемость комет с диаметром более 100 км. Однако статистика наблюдений комет не столь велика, чтобы категорически отвергать существование подобных тел. Т.о. данная гипотеза возникновения колец имеет право на существование ▲.

Ответ: $197\,\mathrm{км} \le \mathfrak{R}_{c\,\min} \le 394\,\mathrm{км}$ . ( $\text{\textdollar}_{\max} = 13$ баллов).

Оригинал в Архива: Tasks[SAmRAS_2014-2]_10-11 classes.pdf · официални решения: TasksDecisions[SAmRAS_2014-2]_10-11 classes.pdf