Съдържание

Условие Отговори Решение

Самара 2014, II кръг (задочен), 10–11 клас — Задача 14. Траектория МКС в ЦУПе и высота ее орбиты

Оригинал на условието (PDF)Съобщи за грешка

Всички материали от Самара 2014

Условия конкурсных задач олимпиады по астрономии SAMRAS-2014 среди учащихся 10-11 классов заочного тура № 2 · 12 т.

Уровень А

Уровень «Новичок» (уровень А)

Уровень B

Уровень «Знаток» (уровень B)

Уровень C

Уровень «Профи» (уровень C)

Условие

Условие. На большом экране в Центре управления полетами (ЦУП) отображается траектория Международной космической станции (МКС) – след от пересечения поверхности Земли прямой, проведенной от центра Земли к станции (см. рис. 4). Станция движется по круговой орбите. Оцените с помощью данного рисунка высоту $h$ космической станции над поверхностью Земли. Считайте, что радиус Земли равен $\mathfrak{R}_{\oplus} = 6371$ км, ускорение свободного падения на поверхности Земли $g_0 = 9.81$ м/с $^2$ . (12 баллов).

Карта мира в равнопромежуточной проекции с прямоугольной сеткой (12 клеток по долготе); две соседние синусоидальные трассы МКС, сдвинутые друг относительно друга по горизонтали; над Северной Америкой изображена станция. — Рис. 4.

Отговори

Решение

Повтор рисунка из условия: карта мира с сеткой и двумя соседними синусоидальными трассами МКС. — Рис. 9.

Дано: $\mathfrak{R}_{\oplus} = 6371$ км, $g_0 = 9.81$ м/с $^2$ .

Найти: $h$ – ?

Решение:

Прежде всего, найдем период обращения спутника, движущегося по круговой орбите на уровне поверхности Земли:

T_0 = \frac{2\,\pi\,\mathfrak{R}_{\oplus}}{V_I} = 2\pi\sqrt{\frac{\mathfrak{R}_{\oplus}}{g_0}} = 5063\,\mathrm{c} = 1.41\,\text{часа},

где $V_I = \sqrt{g_0\,\mathfrak{R}_{\oplus}} = 7.91$ км/c – первая космическая скорость для Земли у ее поверхности.

Определим период обращения МКС. Если бы Земля не вращалась, то МКС, совершив целое число полных оборотов, пересекала бы экватор в одних и тех же точках. Но поскольку Земля вращается, то за период обращения МКС она успевает повернутся на некоторый угол, и станция пересекает экватор второй раз уже в точке, находящейся немного западнее (Земля вращается с запада на восток). Именно поэтому траектория станции немного смещается. За период обращения станция ее смещение составляет, очевидно, 0.75 клетки. За звездные сутки $T_{\oplus} = 23^{\text{ч}}56^{\text{м}}04^{\text{с}} = 86164$ c Земля завершила один оборот вокруг своей оси и смещение составило бы 12 клеток. Значит период обращения МКС составит

T = T_{\oplus}\left(\frac{0.75}{12}\right) = 5385\,\mathrm{c} = 1.50\,\text{часа}.

Далее воспользуемся третьим законом Кеплера в классической форме для МКС и спутника, движущегося на уровне поверхности Земли, учитывая, что радиус орбиты МКС составляет $\mathfrak{R}_{\oplus} + h$ :

\left(\frac{T}{T_0}\right)^2 = \left(\frac{\mathfrak{R}_{\oplus} + h}{\mathfrak{R}_{\oplus}}\right)^3,\ \Rightarrow\ h = \mathfrak{R}_{\oplus}\left(\left(\frac{T}{T_0}\right)^{2/3} - 1\right) = 267\,\mathrm{км}. \qquad (21)

Ответ: $h = \mathfrak{R}_{\oplus}\left(\left(\frac{T}{T_0}\right)^{2/3} - 1\right) = 267\,\mathrm{км}$ . ( $\text{\textdollar}_{\max} = 12$ баллов).

Оригинал в Архива: Tasks[SAmRAS_2014-2]_10-11 classes.pdf · официални решения: TasksDecisions[SAmRAS_2014-2]_10-11 classes.pdf