Съдържание

Условие Отговори Решение

Самара 2014, II кръг (задочен), 10–11 клас — Задача 13. Фотография лунных кратеров

Оригинал на условието (PDF)Съобщи за грешка

Всички материали от Самара 2014

Условия конкурсных задач олимпиады по астрономии SAMRAS-2014 среди учащихся 10-11 классов заочного тура № 2 · 11 т.

Уровень А

Уровень «Новичок» (уровень А)

Уровень B

Уровень «Знаток» (уровень B)

Уровень C

Уровень «Профи» (уровень C)

Условие

Условие. В период с 8 по 14 августа 2013 года на обсерватории ДООЦ «Жигули» Бахтиным П.И. и Гришиным К.А. были проведены наблюдения Луны, в частности, была получена фотография (см. рис. 3) части ее поверхности. Используя данную фотографию и данные о Луне, оцените линейный и угловой диаметры (для земного наблюдателя) трех кратеров $K_1 - K_3$ . (11 баллов).

Чёрно-белая фотография края лунного диска на тёмном небе: изогнутый лимб вверху, поверхность с множеством кратеров; жёлтыми буквами отмечены кратеры K1 (слева в центре), K2 (у лимба справа) и K3 (внизу слева). — Рис. 3.

Отговори

Решение

Повтор фотографии из условия: край лунного диска с кратерами, отмеченными жёлтыми буквами K1, K2, K3. — Рис. 6.

Решение:

Прежде всего, определим угловой ( $\mu_a$ ) и линейный ( $\mu_\ell$ ) масштаб фотографии следующими выражениями:

\mu_a = \frac{\rho''_{☾}}{R_{☾}},\ \ \mu_\ell = \frac{\mathfrak{R}_{☾}}{R_{☾}}, \qquad (19)

где $\rho''_{☾} = 15.535'$ – средний угловой радиус Луны, $\mathfrak{R}_{☾} = 1.737 \cdot 10^3$ км – средний линейный радиус Луны, полученные по данным наблюдений профессионалов, $R_{☾}$ – линейный радиус Луны, измеренный по фотографии.

К сожалению, измерить непосредственно радиус видимого диска Луны по фотографии не представляется возможным. Поэтому будем для этого использовать несложную методику косвенного определения $R_{\odot}$ . Рассмотрим круг радиуса $R$ и круговой сегмент $ACBDA$ , с высотой $h$ и основанием $AB = 2a$ (см. рис. 7). Из треугольника $\triangle ADO$ по теореме Пифагора следует, что

R^2 = a^2 + (R - h)^2,\ \Rightarrow\ R = \frac{(a^2 + h^2)}{2h}.

Т.о. для определения радиуса круга необходимо знать высоту $h$ кругового сегмента и половину его основания – $a$ .

Выполним дополнительное построение на данной фотографии. Проведем через верхнюю точку $C$ части видимого диска Луны (см. рис. 8) касательную. Проведем параллельную ей прямую, через крайнюю левую точку $A$ диска. Опустим из точки $C$ на нее перпендикуляр CD. В результате мы получаем половину кругового сектора $ACDA$ , для которого $h_{☾} = CD$ , $a_{☾} = AD$ и, следовательно,

R_{☾} = \frac{(a_{☾}^2 + h_{☾}^2)}{2h_{☾}}. \qquad (20)

Круг с центром O радиуса R; хорда AB и отсекаемый ею оранжевый круговой сегмент с вершиной C; высота сегмента h = CD, половина хорды a = AD; радиус R проведён от O к A и от O к точке E на горизонтальном диаметре. — Рис. 7.

Определяя по фотографии значения $a_{☾} = 24.4$ см, $h_{☾} = 5.6$ см (ваши значения могут отличаться от указанных, в зависимости от формата используемой фотографии), в итоге получаем $R_{☾} = 55.957$ см. Тогда угловой и линейный масштаб фотографии представляются значениями $\mu_a = 16.7''$ /см, $\mu_\ell = 31.0$ км/см.

Далее определяем линейные размеры отмеченных кратеров по фотографии: $d_1 = 4.4$ см, $d_2 = 2.35$ см, $d_3 = 1.6$ см.

В итоге угловые и линейные диаметры кратеров $K_1 - K_3$ есть

D''_1 = \mu_a \cdot d_1 = 73.5'',\ \ D_1 = \mu_\ell \cdot d_1 = 136\,\mathrm{км},

D''_2 = \mu_a \cdot d_2 = 39'',\ \ D_2 = \mu_\ell \cdot d_2 = 73\,\mathrm{км},

D''_3 = \mu_a \cdot d_3 = 27'',\ \ D_3 = \mu_\ell \cdot d_3 = 50\,\mathrm{км}.

Та же фотография края Луны с построением: горизонтальная касательная через верхнюю точку диска C справа, параллельная ей прямая через крайнюю левую точку A до точки D, отрезок CD; у кратеров K1, K2, K3 белыми стрелками показаны измеряемые диаметры D1, D2 и (у K3) D2. — Рис. 8.

Ответ: $D_1 = 136\,\mathrm{км}$ , $D_2 = 73\,\mathrm{км}$ , $D_3 = 50\,\mathrm{км}$ ; $D''_1 = 73.5''$ , $D''_2 = 39''$ , $D''_3 = 27''$ . ( $\text{\textdollar}_{\max} = 11$ баллов).

Оригинал в Архива: Tasks[SAmRAS_2014-2]_10-11 classes.pdf · официални решения: TasksDecisions[SAmRAS_2014-2]_10-11 classes.pdf