Съдържание

Условие Отговори Решение

Самара 2014, II кръг (задочен), 10–11 клас — Задача 12. Размеры и плотность самой легкой и массивной черной дыры

Оригинал на условието (PDF)Съобщи за грешка

Всички материали от Самара 2014

Условия конкурсных задач олимпиады по астрономии SAMRAS-2014 среди учащихся 10-11 классов заочного тура № 2 · 10 т.

Уровень А

Уровень «Новичок» (уровень А)

Уровень B

Уровень «Знаток» (уровень B)

Уровень C

Уровень «Профи» (уровень C)

Условие

Условие. В 2003 году в двойной системе IGR J17091, находящейся в созвездии Скорпиона, астрофизики зафиксировали яркую рентгеновскую вспышку. Последующие исследования этой системы показали, что она состоит из "нормальной" звезды и черной дыры (ЧД), масса которой оказалась близкой к минимально возможной массе ЧД звездного типа ( $\mathfrak{M}_{BH}^{(\min)} = 3\,\mathfrak{M}_{\odot}$ ). Эта ЧД имеет минимальную массу, среди всех черных дыр, обнаруженных косвенными методами на данный момент. В конце 2012 года с использованием телескопа имени Хаббла ученые обнаружили в галактике NGC 1277 сверхмассивную ЧД с самой большой массой из известных сегодня ( $\mathfrak{M}_{BH}^{(\max)} = 2 \cdot 10^{10}\,\mathfrak{M}_{\odot}$ ). С использованием данных, полученных исследователями, определите интервалы возможных значений для радиуса и массовой плотности черных дыр, наблюдаемых сегодня (в предположении, что все промежуточные значения массы ЧД допустимы). Во сколько раз отличаются данные параметры для самой легкой и самой массивной ЧД? (10 баллов).

Отговори

Решение

Дано: $\mathfrak{M}_{BH}^{(\min)} = 3\,\mathfrak{M}_{\odot}$ , $\mathfrak{M}_{BH}^{(\max)} = 2 \cdot 10^{10}\,\mathfrak{M}_{\odot}$ .

Найти: $(\mathfrak{R}_{BH}^{(\min)}, \mathfrak{R}_{BH}^{(\max)})$ – ?, $(\rho_{BH}^{(\min)}, \rho_{BH}^{(\max)})$ – ?, $\mathfrak{R}_{BH}^{(\max)}/\mathfrak{R}_{BH}^{(\min)}$ – ?, $\rho_{BH}^{(\max)}/\rho_{BH}^{(\min)}$ – ?

Решение:

Как известно, черная дыра (ЧД) – область четырехмерного пространства-времени, гравитационное притяжение которой настолько велико, что покинуть ее не могут даже объекты, движущиеся со скоростью света, в том числе кванты самого света. Граница этой области называется горизонтом событий, а ее характерный размер – гравитационным радиусом или радиусом Шварцшильда. Последний можно определить из условия, что на горизонте событий вторая космическая скорость ЧД равна скорости света:

V_{II} = \sqrt{\frac{2\,G\,\mathfrak{M}_{\rm BH}}{\mathfrak{R}_{BH}}} = c,\ \Rightarrow

\mathfrak{R}_{BH} = \frac{2\,G\,\mathfrak{M}_{\rm BH}}{c^2}. \qquad (15)

Из последнего выражения следует, что чем больше масса черной дыры, тем больше ее радиус. Следовательно, сверхмассивная ЧД будет определять верхнюю границу интервала возможных значений радиуса ЧД, а ЧД звездного типа – нижнюю границу, т.е.

\mathfrak{R}_{BH}^{(\min)} = \frac{2 \cdot 6.673 \cdot 10^{-11} \cdot 3 \cdot 1.989 \cdot 10^{30}}{9 \cdot 10^{16}}\,\mathrm{м} = 8.848\,\mathrm{км}.

\mathfrak{R}_{BH}^{(\max)} = \frac{2 \cdot 6.673 \cdot 10^{-11} \cdot 2 \cdot 10^{10} \cdot 1.989 \cdot 10^{30}}{9 \cdot 10^{16}}\,\mathrm{м} = 5.899 \cdot 10^{10}\,\mathrm{км}.

Следовательно,

8.848\,\mathrm{км} \le \mathfrak{R}_{BH} \le 5.899 \cdot 10^{10}\,\mathrm{км},\quad \mathfrak{R}_{BH}^{(\max)}/\mathfrak{R}_{BH}^{(\min)} = \mathfrak{M}_{BH}^{(\max)}/\mathfrak{M}_{BH}^{(\min)} = 6.67 \cdot 10^9. \qquad (16)

Среднюю массовую плотность определим выражением

\rho_{\rm BH} = \frac{\mathfrak{M}_{\rm BH}}{V_{\rm BH}} = \frac{\mathfrak{M}_{\rm BH}}{\frac{4}{3}\pi\mathfrak{R}_{BH}^3} = \frac{3c^6}{32\pi G^3\,\mathfrak{M}_{BH}^2}. \qquad (17)

Из последнего результата следует, что чем меньше масса черной дыры тем выше ее плотность (т.е. $\rho_{\rm BH} \sim \mathfrak{M}_{BH}^{-2}$ ). Следовательно, сверхмассивная ЧД будет определять нижнюю границу интервала возможных значений средней массовой плотности ЧД, а ЧД звездного типа – верхнюю границу, т.е.

\rho_{\rm BH}^{(\min)} = \frac{3\,c^6}{32\pi G^3\,4 \cdot 10^{20}\,\mathfrak{M}_{\odot}^2} = 4.62 \cdot 10^{-2}\,\mathrm{кг/м^3}

\rho_{\rm BH}^{(\max)} = \frac{c^6}{96\pi G^3\,\mathfrak{M}_{\odot}^2} = 2.06 \cdot 10^{18}\,\mathrm{кг/м^3}

Т.о.

4.62 \cdot 10^{-2}\,\mathrm{кг/м^3} \le \rho_{\rm BH} \le 2.06 \cdot 10^{18}\,\mathrm{кг/м^3},\quad \rho_{\rm BH}^{(\max)}/\rho_{\rm BH}^{(\min)} = (\mathfrak{M}_{BH}^{(\max)}/\mathfrak{M}_{BH}^{(\min)})^2 = 4.44 \cdot 10^{19}. \qquad (18)

Ответ: $8.848\,\mathrm{км} \le \mathfrak{R}_{BH} \le 5.899 \cdot 10^{10}\,\mathrm{км}$ , $\mathfrak{R}_{BH}^{(\max)}/\mathfrak{R}_{BH}^{(\min)} = 6.67 \cdot 10^9$ ; $4.62 \cdot 10^{-2}\,\mathrm{кг/м^3} \le \rho_{\rm BH} \le 2.06 \cdot 10^{18}\,\mathrm{кг/м^3}$ , $\rho_{\rm BH}^{(\max)}/\rho_{\rm BH}^{(\min)} = 4.44 \cdot 10^{19}$ . ( $\text{\textdollar}_{\max} = 10$ баллов).

Оригинал в Архива: Tasks[SAmRAS_2014-2]_10-11 classes.pdf · официални решения: TasksDecisions[SAmRAS_2014-2]_10-11 classes.pdf