Съдържание

Условие Отговори Решение

Самара 2014, II кръг (задочен), 10–11 клас — Задача 11. Квавар – один из крупнейших объектов пояса Койпера

Оригинал на условието (PDF)Съобщи за грешка

Всички материали от Самара 2014

Условия конкурсных задач олимпиады по астрономии SAMRAS-2014 среди учащихся 10-11 классов заочного тура № 2 · 9 т.

Уровень А

Уровень «Новичок» (уровень А)

Уровень B

Уровень «Знаток» (уровень B)

Уровень C

Уровень «Профи» (уровень C)

Условие

Условие. В 2002 году группой американских астрофизиков был открыт транснептуновый объект Квавар (Quaoar), являющийся одним из крупнейших объектов в поясе Койпера. На момент открытия данное тело находилось в созвездии Змееносца и имело видимый блеск $18.5^m$ . Согласно астрометрическим данным большая полуось Квавара составляет $a_Q = 43.405$ а.е. Как долго данный объект перемещается по созвездию Змееносца, если Солнцу для этого требуется около 20 суток? Телескоп с объективом какого минимального диаметра необходим для а) визуальных наблюдений данного объекта, б) для разрешения его диска (при условии его видимости в телескоп) в случае, когда объект подойдет на минимальное расстояние, если диаметр Квавара оценивается в 1074 км, а эксцентриситет $\varepsilon_Q = 0.039$ ? (9 баллов).

Отговори

Решение

Дано: $m_v = 18.5^m$ , $a_Q = 43.405$ а.е., $\varepsilon_Q = 0.039$ , $\mathfrak{D}_Q = 1074$ км, $\Delta t_{\odot} = 20$ сут,

Найти: $\Delta t_Q$ , $D_{\min}$ – ?

Решение:

Определим период обращения данного тела вокруг Солнца с использованием третьего закона Кеплера (11), в итоге $T_Q = a_Q^{3/2} = 286$ лет. Т.о. за указанный период объект делает один полный оборот вокруг Солнца, следовательно ее средняя угловая скорость, составляет

\omega_Q = \frac{360^{\circ}}{T_Q} = 1.26^{\circ}/\mathrm{год} = 3.45 \cdot 10^{-3}\,\mathrm{град/сут} = 12.4''/\mathrm{сут}.

При этом угловая скорость видимого движения Солнца есть

\omega_{\odot} = \frac{360^{\circ}}{T_{\oplus}} = 0.986\ \mathrm{град/сут},

здесь $T_{\oplus} = 365.25$ сут – звездный год. Протяженность созвездия можно охарактеризовать углом, который покрывает каждое тело со своей угловой скоростью, тогда

\omega_{\odot} \cdot \Delta t_{\odot} = \omega_Q \cdot \Delta t_Q,\ \Rightarrow\ \Delta t_Q = \Delta t_{\odot}\frac{\omega_{\odot}}{\omega_Q} = 5716\,\mathrm{сут} = 15.6\,\mathrm{лет}.

Для визуальных наблюдений Квавара необходим телескоп, проницающая сила которого не меньше звездной величины объекта, т.е.

m_T \ge m_v,\ \Rightarrow\ 2.1^m + 5\lg D_T \ge m_v.

В предельном случае

2.1^m + 5\lg D_{\min} = m_v,\ \Rightarrow\ D_{\min}^{(1)} = 10^{0.2(m_v - 2.1^m)} = 1905\,\mathrm{мм} \approx 1.91\,\mathrm{м}.

Для того чтобы разрешить диск данного тела в телескоп в принципе, необходимо, что его разрешающая способность была не больше его максимального видимого углового диаметра, т.е.

\beta_T \le D''_{Q\ \max}.

C учетом того, что разрешающая способность рефлектора выше чем рефрактора и определяется выражением

\beta_T = \frac{120''}{D[\mathrm{мм}]}, \qquad (14)

а угловой диаметр тела определяется выражением (9), в итоге исходное неравенство перепишется в виде:

\frac{120''}{D_{\min}^{(2)}[\mathrm{мм}]} \le 206265'' \times \left(\frac{\mathfrak{D}_Q}{r_{\min}}\right),\ \Rightarrow\ D_{\min}^{(2)}[\mathrm{мм}] \ge \frac{120''}{206265''}\,\frac{r_{\min}}{\mathfrak{D}_Q}.

Очевидно, что минимальное расстояние между наблюдателем и Кваваром достигается, когда последний находится в противостоянии и в перигелии своей орбиты одновременно, тогда

r_{\min} = a_Q(1 - \varepsilon_Q) - a_{\oplus} = 40.712\,\mathrm{а.е.} = 6.091 \cdot 10^9\,\mathrm{км}.

В итоге $D_{\min}^{(2)} = 3330$ мм $= 3.33$ м.

Ответ: $\Delta t_Q = 15.6\,\mathrm{лет}$ , $D_{\min}^{(1)} = 1905\,\mathrm{мм} \approx 1.91\,\mathrm{м}$ , $D_{\min}^{(2)} = 3330$ мм $= 3.33$ м. ( $\text{\textdollar}_{\max} = 9$ баллов).

Замечание: Для определения диаметра объектива (зеркала или линзы) телескопа, который мог бы разрешить Квавар, можно было использовать менее точную формулу для разрешающей способности:

\beta_T = \frac{140''}{D[\mathrm{мм}]}.

Однако, последняя в большей степени справедлива для телескопов-рефракторов. К сожалению, в мире не существует рефракторов со столь большим объективом. Поэтому, в принципе, для таких целей подходит лишь рефлектор, для которого справедлива формула (14).

Оригинал в Архива: Tasks[SAmRAS_2014-2]_10-11 classes.pdf · официални решения: TasksDecisions[SAmRAS_2014-2]_10-11 classes.pdf