Съдържание

Условие Отговори Решение

Самара 2014, II кръг (задочен), 10–11 клас — Задача 10. Утренняя пробежка космонавтов будущего по астероиду

Оригинал на условието (PDF)Съобщи за грешка

Всички материали от Самара 2014

Условия конкурсных задач олимпиады по астрономии SAMRAS-2014 среди учащихся 10-11 классов заочного тура № 2 · 8 т.

Уровень А

Уровень «Новичок» (уровень А)

Уровень B

Уровень «Знаток» (уровень B)

Уровень C

Уровень «Профи» (уровень C)

Условие

Условие. Предположим, что космонавты будущего, путешествуя по поясу астероидов, решили совершить пробежку (с такой же скоростью, как на Земле) по поверхности одного из таких тел. Характерная плотность пород, слагающих астероиды, составляет $\rho_a = 3.5$ г/см $^3$ . Какие размеры могут иметь астероиды, пригодные для такой пробежки, чтобы космонавты не смогли "упасть" в космос? (8 баллов).

Отговори

Решение

Дано: $\rho_a = 3.5$ г/см $^3$ .

Найти: $\mathfrak{R}_a$ – ?

Решение:

Как известно, человек на поверхности Земли может развивать скорость вплоть до $V_{\max} = 10$ м/c. Чтобы космонавты могли совершить пробежку и не упасть в космос, их максимальная скорость движения не должна превышать первую космическую скорость астероида $V_I$ , иначе они оторвутся от поверхности и бег прекратится, т.е.

V_{\max} \le V_I.

Первая космическая скорость астероида может быть представлена в виде:

V_I = \sqrt{\frac{G\,\mathfrak{M}_a}{\mathfrak{R}_a}}. \qquad (12)

учитывая, что масса астероида – шара есть

\mathfrak{M}_a = \frac{4}{3}\pi\mathfrak{R}_a^3\,\rho_a,\ \Rightarrow\ V_I = \sqrt{\frac{4}{3}\,\pi\,G\,\rho_a\mathfrak{R}_a^2}. \qquad (13)

В итоге имеем следующее неравенство

V_{\max} \le \sqrt{\frac{4}{3}\,\pi\,G\,\rho_a\mathfrak{R}_a^2},\ \Rightarrow\ \mathfrak{R}_a \ge V_{\max}/\sqrt{\frac{4}{3}\,\pi\,G\,\rho_a} = 1.01 \cdot 10^4\,\mathrm{м} = 10.1\,\mathrm{км}.

Следовательно, для прогулки подходят астероиды радиус которых более 10.1 км.

Ответ: $\mathfrak{R}_a \ge V_{\max}/\sqrt{\frac{4}{3}\,\pi\,G\,\rho_a} = 10.1\,\mathrm{км}$ . ( $\text{\textdollar}_{\max} = 8$ баллов).

Оригинал в Архива: Tasks[SAmRAS_2014-2]_10-11 classes.pdf · официални решения: TasksDecisions[SAmRAS_2014-2]_10-11 classes.pdf