Съдържание

Условие Отговори Решение

Самара 2014, II кръг (задочен), 10–11 клас — Задача 9. Разрешающая способность человеческого глаза и орбита планеты X

Оригинал на условието (PDF)Съобщи за грешка

Всички материали от Самара 2014

Условия конкурсных задач олимпиады по астрономии SAMRAS-2014 среди учащихся 10-11 классов заочного тура № 2 · 8 т.

Уровень А

Уровень «Новичок» (уровень А)

Уровень B

Уровень «Знаток» (уровень B)

Уровень C

Уровень «Профи» (уровень C)

Условие

Условие. Как известно, разрешающая способность здорового человеческого глаза составляет порядка $1'$ . Каков радиус круговой орбиты и период обращения воображаемого небесного тела (назовем его планета X), движущегося вокруг Солнца, с поверхности которого космонавт еще мог бы разрешить диск Солнца (т.е. увидеть Солнце как неточечный объект)? К орбите какой классической планеты ближе прочих расположена орбита данного тела? С поверхности каких классических и карликовых планет Солнце видно как неточечный объект? Радиус Солнца составляет $\mathfrak{R}_{\odot} = 6.961 \cdot 10^8$ м. (8 баллов).

Отговори

Решение

Дано: $\mathfrak{R}_{\odot} = 6.961 \cdot 10^8$ м, $\beta_y = 1' = 60''$ .

Найти: $r$ , $T$ – ?

Решение:

Определить радиус круговой орбиты данного тела можно из условия равенства разрешающей способности человеческого глаза $\beta_y$ и углового диаметра Солнца:

D''_{\odot,\,P} = 2 \cdot 206265'' \cdot \mathrm{arctg}\left(\frac{\mathfrak{R}_{\odot}}{r}\right) \approx 2 \cdot 206265'' \times \left(\frac{\mathfrak{R}_{\odot}}{r}\right) = \beta_y,\ \Rightarrow \qquad (9)

r = 2 \cdot 206265'' \times \left(\frac{\mathfrak{R}_{\odot}}{\beta_y}\right) = 4.786 \cdot 10^{12}\,\mathrm{м} = 31.99\ \mathrm{a.е.} \qquad (10)

Период обращения найдем с использованием третьего закона Кеплера (в классической форме):

\left(\frac{r}{a_{\oplus}}\right)^3 = \left(\frac{T}{T_{\oplus}}\right)^2,\ \Rightarrow\ T = T_{\oplus}\left(\frac{r}{a_{\oplus}}\right)^{3/2} = 181\,\mathrm{год}. \qquad (11)

Опираясь на полученные результаты, можно заключить, что орбита данного тела расположена ближе всего к орбите Нептуна (большая полуось – 30.10 а.е., см. таблицу 1), причем дальше от Солнца.

Если расстояние в перигелии гелиоцентрической орбиты планеты меньше найденного $r$ , то диск Солнца можно разрешить в принципе, в противном случае – Солнце всегда видится космонавту как точка.

Поскольку орбиты всех классических планет (Меркурий, Венера, Земля, Марс, Юпитер, Сатурн, Уран, Нептун) лежат полностью внутри орбиты планеты X (см. таблицу 1), следовательно, с поверхности всех классических планет в любой момент времени, в идеальных условиях космонавт может разрешить диск Солнца.

Таблица 1.

Планета	$a$ , а.е.	$q$ , а.е.	$Q$ , а.е.	Планета	$a$ , а.е.	$q$ , а.е.	$Q$ , а.е.
Классические				Карликовые
Меркурий	0.387	0.307	0.467	Церера	2.765	2.547	2.984
Венера	0.723	0.718	0.728	Плутон	39.482	29.658	49.305
Земля	1.000	0.983	1.017	Эрида	68.047	38.464	97.631
Марс	1.524	1.381	1.666	Хаумеа	42.985	34.494	51.475
Юпитер	5.204	4.950	5.458	Макемаке	45.436	38.051	52.821
Сатурн	9.582	9.048	10.116	–	–	–	–
Уран	19.229	18.376	20.083	–	–	–	–
Нептун	30.104	29.766	30.441	–	–	–	–

Здесь $a$ – большая полуось, $q, Q$ – гелиоцентрические расстояния до перигелия и афелия орбиты планеты.

Некоторые орбитальные характеристики классических планет и планет-карликов.

В отношении карликовых планет (Церера, Плутон, Эрида, Хаумеа, Макемаке) ситуация иная. Орбита Цереры лежит глубоко внутри орбиты планеты X (см. таблицу 1), и потому с ее поверхности Солнце всегда видно как неточечное тело. Гелиоцентрическое расстояние Плутона меняется в пределах $29.66 \div 49.31$ а.е. Поэтому в окрестности перигелия с поверхности Плутона можно разрешить диск Солнца. На большей части своей орбиты планета находится от Солнца на расстояниях, больших $r$ , и потому здесь Солнце – точечный объект. Перигелии Эриды, Хаумеи, Макемаке лежат дальше указанного рубежа, поэтому здесь диск Солнца не разрешается глазом космонавта.

Ответ: $r = 31.99$ a.е., $T = 181$ год; орбита данного тела расположена ближе всего к орбите Нептуна (большая полуось – 30.10 а.е.); c поверхности всех классических планет (Меркурий, Венера, Земля, Марс, Юпитер, Сатурн, Уран, Нептун) и карликовой планеты – Церера Солнце всегда видно как неточечный объект; c поверхности Плутона можно разрешить диск Солнца лишь в окрестности перигелия его орбиты. ( $\text{\textdollar}_{\max} = 8$ баллов).

Оригинал в Архива: Tasks[SAmRAS_2014-2]_10-11 classes.pdf · официални решения: TasksDecisions[SAmRAS_2014-2]_10-11 classes.pdf