Съдържание

Условие Отговори Решение

Самара 2014, II кръг (задочен), 8–9 клас — Задача 18. Проект "Радиоастрон" и наблюдение сверхмассивной черной дыры

Оригинал на условието (PDF)Съобщи за грешка

Всички материали от Самара 2014

УСЛОВИЯ КОНКУРСНЫХ ЗАДАЧ ОЛИМПИАДЫ ПО АСТРОНОМИИ SAMRAS-2014 СРЕДИ УЧАЩИХСЯ 8-9 КЛАССОВ ЗАОЧНОГО ТУРА № 2 · 15 т.

Уровень «Новичок»

(уровень А)

Уровень «Знаток»

(уровень B)

Уровень «Профи»

(уровень C)

Уровень «Новичок»

(уровень А)

Уровень «Знаток»

(уровень B)

Уровень «Профи»

(уровень C)

Условие

Условие. 18 июля 2011 года стартовал международный космический проект Радиоастрон с ведущим российским участием, нацеленный на проведение фундаментальных астрофизических исследований в радиодиапазоне с помощью космического радиотелескопа «Спектр-Р» (см. рис. 3). Последний представляет собой космический аппарат-радиотелескоп, оснащенный приемной параболической антенной диаметром 10 метров, работающей в диапазоне длин волн $1.2 \div 96$ см, движущийся по геоцентрической орбите с большой полуосью $a = 1.89\cdot 10^5$ км и эксцентриситетом $\varepsilon = 0.94$ . Он является крупнейшим в мире космическим телескопом и образует вместе с наземными радиотелескопами наземно-космический радиоинтерферометр со сверхдлинной базой. Такой режим работы позволяет достичь сверхвысокой разрешающей способности, которая определяется расстоянием между телескопами, а не размером антенн. Одной из главных целей проекта является изучение релятивистских струй, а также непосредственных окрестностей сверхмассивных черных дыр в галактиках. Определите для данного телескопа минимальную и максимальную разрешающую способность. Сможет ли в принципе, данный телескоп разрешить (т.е. увидеть как протяженный объект) окрестности сверхмассивной черной дыры галактики M31 (Туманность Андромеды), масса которой $(1.1 \div 2.3)\cdot 10^8\,\mathfrak{M}_{\odot}$ . Расстояние до центра галактики $(7.72 \pm 0.44)\cdot 10^5$ пк. (15 баллов).

Изображение космического радиотелескопа «Спектр-Р» на орбите над Землей: большая параболическая антенна-зеркало с фокальным контейнером на штангах и две панели солнечных батарей. — Рис. 3.

Отговори

Решение

Дано: $D_T = 10$ м, $\lambda = 1.2 \div 96$ см, $a = 1.89\cdot 10^5$ км, $\varepsilon = 0.94$ , $\mathfrak{M}_{BH} = (1.1 \div 2.3)\cdot 10^8\,\mathfrak{M}_{\odot}$ , $r_{BH} = (7.72 \pm 0.44)\cdot 10^5$ пк

Найти: $\beta_{\min}, \beta_{\max}$ – ? сможет ли?

Разрешающая способность обычного радиотелескопа ограничена явлением дифракции электромагнитных волн и определяется выражением вида:

\beta = 1.21\left(\frac{\lambda}{D_T}\right), \qquad (27)

где $\lambda$ – длина электромагнитной волны на которой работает данный телескоп, $D_T$ – диаметр объектива телескопа. Как было отмечено в условии в случае радиоинтерферометров параметр $\beta$ определяется уже не диаметром антенны, а расстоянием между антеннами – базой ( $L$ ). Поэтому Разрешающая способность радиоинтерферометра определяется выражением:

\beta = 1.21\left(\frac{\lambda}{L}\right). \qquad (28)

Т.о. разрешающая способность радиоинтерферометра определяется лишь $\lambda$ и $L$ . Очевидно, что

\beta_{\min} = 1.21\left(\frac{\lambda_{\min}}{L_{\max}}\right), \ \ \beta_{\max} = 1.21\left(\frac{\lambda_{\max}}{L_{\min}}\right). \qquad (29)

где, согласно условию $\lambda_{\min} = 1.2\cdot 10^{-2}$ м, $\lambda_{\min} = 0.96$ м.

Согласно рис. 10, минимальное расстояние ( $L_{\min}$ ) между космическим и наземным радиотелескопом достигается, когда первый находится в перигее (P) своей орбиты, а наземный под ним, – в точке $E_1$ . При этом

Эллиптическая орбита КА вокруг Земли (голубой круг): перигей P слева, апогей A справа; на прямой PA точки E1 и E2 — пересечения с поверхностью Земли, E1 ближе к перигею. — Рис. 10.

L_{\min} = q - \mathfrak{R}_{\oplus} = a(1 - \varepsilon) - \mathfrak{R}_{\oplus} = 4.969\cdot 10^6\ \text{м},

где $q = a(1 - \varepsilon)$ – геоцентрическое расстояние КА в перигее, $\mathfrak{R}_{\oplus} = 6.371\cdot 10^6$ м – средний (по объему) радиус Земли.

Максимальное расстояние между телескопами будет в случае, когда КА находится в апогее (A) своей орбиты, а телескоп в точке $E_1$ , тогда

L_{\max} = Q + \mathfrak{R}_{\oplus} = a(1 + \varepsilon) + \mathfrak{R}_{\oplus} = 3.730\cdot 10^8\ \text{м}.

В итоге

\beta_{\min} = 3.217\cdot 10^{-11}\ \text{рад} = 6.64\cdot 10^{-6}\ \text{угл. сек.}, \ \ \beta_{\max} = 1.932\cdot 10^{-7}\ \text{рад} = 3.98\cdot 10^{-2}\ \text{угл. сек.}

Чтобы телескоп, в принципе, мог разрешить окрестности сверхмассивной черной дыры галактики M31, необходимо, чтобы $\beta_{\min} < D''_{BH}$ , где $D''_{BH}$ – угловой диаметр сверхмассивной черной дыры. По данным наблюдений определим интервал возможных значений $D''_{BH}$ . С использованием формулы (8) имеем

D''_{BH\ \min} = 2\cdot 206265''\times\left(\frac{\mathfrak{R}_{BH}^{(\min)}}{r_{BH}^{(\max)}}\right), \ \ D''_{BH\ \max} = 2\cdot 206265''\times\left(\frac{\mathfrak{R}_{BH}^{(\max)}}{r_{BH}^{(\min)}}\right). \qquad (30)

Здесь $r_{BH}^{(\min)} = 7.28\cdot 10^5$ пк $= 2.247\cdot 10^{22}$ м, $r_{BH}^{(\max)} = 8.16\cdot 10^5$ пк $= 2.518\cdot 10^{22}$ м. С использованием формулы (14) определим минимальный ( $\mathfrak{R}_{BH}^{(\min)}$ ) и максимальный ( $\mathfrak{R}_{BH}^{(\max)}$ ) радиусы черной дыры:

\mathfrak{R}_{BH}^{(\min)} = \frac{2\,G\,\mathfrak{M}_{\text{BH}}^{(\min)}}{c^2} = 3.262\cdot 10^{11}\ \text{м} = 2.181\ \text{а.е.}, \qquad (31)

\mathfrak{R}_{BH}^{(\max)} = \frac{2\,G\,\mathfrak{M}_{\text{BH}}^{(\max)}}{c^2} = 6.821\cdot 10^{11}\ \text{м} = 4.556\ \text{а.е.}. \qquad (32)

Следовательно, $D''_{BH\ \min} = 5.34\cdot 10^{-6}$ угл. сек, $D''_{BH\ \max} = 1.25\cdot 10^{-5}$ угл. сек. Т.о., если наблюдения с КА "Спектр-Р" ведутся в окрестности его афелия, а масса сверхмассивной черной дыры выше среднего значения, то радиоинтерферометр сможет разрешить окрестности дыры.

Ответ: $\beta_{\min} = 6.64\cdot 10^{-6}$ угл. сек., $\beta_{\max} = 3.98\cdot 10^{-2}$ угл. сек.; если наблюдения с КА "Спектр-Р" ведутся в окрестности его афелия, а масса сверхмассивной черной дыры выше среднего значения, то радиоинтерферометр сможет разрешить окрестности дыры. ( $\text{\textdollar}_{\max} = 15$ баллов).

То же изображение радиотелескопа «Спектр-Р» на орбите над Землей, что и в условии: параболическая антенна и панели солнечных батарей. — Рис. 9.

Оригинал в Архива: Tasks[SAmRAS_2014-2]_8-9 classes.pdf · официални решения: TasksDecisions[SAmRAS_2014-2]_8-9 classes.pdf