Съдържание

Условие Отговори Решение

Самара 2015, I кръг (задочен), 10–11 клас — Задача 12. Поверхностная яркость, светимость и альбедо комы кометы C/2014 E2 (Jacques)

Оригинал на условието (PDF)Съобщи за грешка

Всички материали от Самара 2015

Условия конкурсных задач олимпиады по астрономии SAMRAS-2015 среди учащихся 10-11 классов заочного тура № 1 · 10 т.

Уровень А

Уровень «Новичок» (уровень А)

Уровень B

Уровень «Знаток» (уровень B)

Уровень C

Уровень «Профи» (уровень C)

Условие

Условие. С использованием фотографии кометы C/2014 E2 (см. рис. 3), данных и результатов решения предыдущей задачи, определите среднюю поверхностную яркость комы кометы (в звездных величинах, приходящихся на единицу угловой площади, т.е. в ${}^{m}/{''}$ ). Оцените также полный световой поток, отбрасываемый комой кометы в направлении Земли (в Ваттах) и ее дифференциальное альбедо (отношение потока видимого излучения отбрасываемого комой кометы в направлении Земли, в соответствующий телесный угол, к полному потоку солнечного излучения, падающему на кому кометы) для земного наблюдателя, если гелиоцентрическое расстояние кометы в момент наблюдений было равно $r_{hc} = 1.029$ а.е., а видимая звездная величина $m_c = 11.9^m$ . (10 баллов).

Отговори

Решение

Дано: $\Delta = 1.529$ а.е., $m_c = 11.9^m$ .

Найти: $B_s$ , $\Phi_{\rm tot}$ , $A_d$ – ?

Решение: Поверхностная яркость комы кометы ( $B_s$ ) – это звездная величина, соответствующая освещенности ( $E_s$ ), определенной у поверхности Земли и создаваемой площадкой источника с размерами $1''\times 1''$ . Полагая, что кома является ламбертовским источником света (т.е. излучает по всем направлениям одинаково), то

E_s = \frac{E_c}{\Omega_c},

где $E_c$ – освещенность, создаваемая всей комой у поверхности Земли; $\Omega_c$ – телесный угол, под которым видна кома кометы с Земли.

Поскольку угловой диаметр комы кометы мал $\ell'_{\rm coma} = 5.63' \ll 3^{\circ}$ , то телесный угол можно вычислить по приближенной формуле:

\Omega_c = \frac{\pi}{4}(\ell'_{\rm coma})^2 = 89621\,\text{угл. сек},

Воспользуемся далее формулой Погсона для $B_s$ и $m_c$ , то

B_s - m_c = -2.512\ \lg\left(\frac{E_s}{E_c}\right),\ \Rightarrow\ B_s = m_c + 2.512\ \lg(\Omega_c) = 24.3^m/\text{угл сек}.

Полный поток излучения, пришедшего от кометы и упавшего на Землю есть

\Phi_{\rm tot} = E_c\cdot(\pi\,\mathfrak{R}_\oplus^2),

здесь $\mathfrak{R}_\oplus = 6371$ км – средний по объему радиус Земли.

Для определения величины $E_c$ учтем, что освещенность, создаваемая звездой с звездной величиной (блеском) $m_0 = 0.0^m$ составляет $E_0 = 2.48\cdot 10^{-8}$ Вт/м $^2$ , тогда по формуле Погсона находим искомую величину:

E_c = E_0\cdot 10^{0.4(m_0 - m_c)} = E_0\cdot 10^{-0.4\,m_c} = 4.31\cdot 10^{-13}\,\text{Вт/м}^2.

В итоге поток $\Phi_{\rm tot} = 55$ Вт.

Согласно определению, дифференциальное альбедо есть

A_d = \left(\frac{\Phi_{\rm tot}}{\Omega_\oplus}\right)\frac{1}{\Phi_0}, \qquad (9)

здесь $\Omega_\oplus$ – телесный угол под которым видная Земля с кометы. Данный угол определяется выражением вида:

\Omega_\oplus = \frac{\pi\,\mathfrak{R}_\oplus^2}{\Delta^2}.

В формуле (10) $\Phi_0$ – полный поток электромагнитного излучения Солнца, падающего на кому кометы. Последний можно вычислить по формуле:

\Phi_0 = \frac{\pi}{4}\,D_c^2 E_\odot = \frac{\pi}{4}\,D_c^2\,f_\odot\left(\frac{a_\oplus}{r_{hc}}\right)^2 = 1.49\cdot 10^{20}\ \text{Вт}.

здесь $E_\odot$ – освещенность, создаваемая Солнцем у поверхности комы кометы, $f_\odot = 1361$ Вт/м $^2$ – солнечная постоянная

В итоге

A_d = \frac{4}{\pi}\cdot 10^{-0.4\,m_c}\,\frac{E_0}{f_\odot}\left(\frac{\Delta^2}{D_c^2}\right)\left(\frac{r_{hc}}{a_\oplus}\right)^2 = 1.59\cdot 10^{-10}. \qquad (10)

Отметим, что столь низкое альбедо комы объясняется ее ультраразреженностью.

Ответ: $B_s = 24.3^m$ /угл сек, $\Phi_{\rm tot} = 55$ Вт, $A_d = 1.59\cdot 10^{-10}$ . ( $\text{\textdollar}_{\max} = 10$ баллов).

Оригинал в Архива: Tasks[SAmRAS_2015-1]_10-11 classes.pdf · официални решения: TasksDecisions[SAmRAS_2015-1]_10-11 classes.pdf